9 x の無理数乗の定積分

前節までに、

の有理数乗の定積分はすべて求まったことになるが、 $x$

の巾乗の最後に、無理数乗 $x^\alpha$ ( $\alpha$ は無理数) の定積分

$\displaystyle I_{\alpha}(a,b) = \int_a^b x^\alpha dx \hspace{1zw}(0<a<b)$ (64)

を考えることにする。なお、無理数乗 $x^\alpha$ は、ここでは、

$\displaystyle x^\alpha = e^{\alpha \log_e x}\hspace{1zw}(x>0)$ (65)

により、指数関数と対数関数から定義されるものとする¹。

$I_{\alpha}(a,b)$ のリーマン和 $S(\Delta_n)$

$\displaystyle S(\Delta_n) = \sum_{k=1}^n (\bar{x}_k)^\alpha (x_k-x_{k-1}) = \sum_{k=1}^n e^{\alpha\log_e\bar{x}_k} (x_k-x_{k-1})$

において、標本点を $\bar{x}_k=x_k$ とし、変数を $\log_e x_k = t_k$ と置き換える。すると、

$\displaystyle \log_e a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = \log_e b$

で、

を等間隔に取り、

$\displaystyle t_k = \log_e a + (\log_e b-\log_e a)\frac{k}{n} = c+\frac{dk}{n}$

とすると、

$\displaystyle S(\Delta_n)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \sum_{k=1}^n e^{\alpha t_k} (e^{t_k}-e^{t_{k-1}}) \ =\ \sum_{k=1}^n (e^{(\alpha+1)t_k}-e^{\alpha t_k + t_{k-1}})$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \sum_{k=1}^n (e^{(\alpha+1)(c + dk/n)}-e^{(\alpha+1)(c+dk/n)-d/n})$
	$\textstyle =$	$\displaystyle e^{(\alpha+1)c}(1-e^{-d/n})\sum_{k=1}^n (e^{(\alpha+1)d/n})^k$

となる。ここで、 $\alpha$ は無理数だから $\alpha+1\neq 0$ で、 $d=\log_e b-\log_e a>0$ だから、 $e^{(\alpha+1)d/n}\neq 1$ であり、よってこの和は、等比数列の和の公式により求められ、

$\displaystyle S(\Delta_n)$	$\textstyle =$	$\displaystyle e^{(\alpha+1)c}(1-e^{-d/n})e^{(\alpha+1)d/n} \frac{e^{(\alpha+1)d}-1}{e^{(\alpha+1)d/n}-1}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle e^{(\alpha+1)c}(e^{d/n}-1)e^{\alpha d/n} \frac{e^{(\alpha+1)d}-1}{e^{(\alpha+1)d/n}-1}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle e^{\alpha d/n}\frac{e^{d/n}-1}{d/n} \,\frac{(\alpha+1)d/n}{e^{(\alpha+1)d/n}-1}\, \,\frac{e^{(\alpha+1)(c+d)}-e^{(\alpha+1)c}}{\alpha+1}$

と変形できる。この最後の式は (31) より、 $n\rightarrow\infty$ のときに

$\displaystyle \frac{e^{(\alpha+1)(c+d)}-e^{(\alpha+1)c}}{\alpha+1} =\frac{e^{(\... ...e^{(\alpha+1)\log_e a}}{\alpha+1} =\frac{b^{\alpha+1}-a^{\alpha+1}}{\alpha+1}$