10 タンジェントの定積分

3 節では、$\sin x$, $\cos x$ の定積分を考えたが、 本節では $\tan x$ の定積分

$$I_{tan}(a,b) = \int_a^b \tan x dx \hspace{1zw}\left(-\frac{\pi}{2}<a<b<\frac{\pi}{2}\right)$$ (67)

を考える。$\tan x$ は奇関数なので、2 節と同様に $a=0$, $0<b<\pi/2$ の $I_{tan}(0,b)$ のみ考えればよい。

$I_{tan}(0,b)$ に対するリーマン和

$$S(\Delta_n) = \sum_{k=1}^n (\tan\bar{x}_k)(x_k-x_{k-1})$$ (68)

を考える ($x_0=0$, $x_n=b$)。 三角関数の積和の公式により、

$$\cos x_k - \cos x_{k-1} = -2\sin\frac{x_k+x_{k-1}}{2}\sin\frac{x_k-x_{k-1}}{2}$$

となるので、標本点 $\bar{x}_k$ を中点 $(x_k+x_{k-1})/2$ と取ると、

	$$(\tan\bar{x}_k)(x_k-x_{k-1})$$	$=$	$$\frac{\sin\bar{x}_k}{\cos\bar{x}_k}\,(x_k-x_{k-1})$$
		$=$	$$-\,\frac{\cos x_k-\cos x_{k-1}}{\cos\bar{x}_k} \,\frac{x_k-x_{k-1}}{2\sin((x_k-x_{k-1})/2)}$$

と変形できる。分点 $x_k$ を等間隔 ($x_k=kb/n$) に取ると、

$$S(\Delta_n) = \frac{b/(2n)}{\sin(b/(2n))} \sum_{k=1}^n \frac{\cos x_{k-1}-\cos x_k}{\cos\bar{x}_k}$$ (69)

となる。ここで、

$$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle t_j = \cos x_{n-j} = \cos... ...}{2} = \cos\frac{n-j+1/2}{n}\,b\hspace{1zw}(1\leq j\leq n) \end{array}\right.$$ (70)

とすると

$$\cos x_n = \cos b=t_0<t_1<\cdots < t_n=\cos x_0=1, \hspace{1zw}t_{j-1}<\bar{t}_{j}<t_j$$

で、(69) は

$$S(\Delta_n) = \frac{b/(2n)}{\sin(b/(2n))} \sum_{j=1}^n \frac{t_j-t_{j-1}}{\bar{t}_j}$$ (71)

となる。

ここで $t_j$ は、

$$t_j = \cos\left(b-\frac{j}{n}\,b\right)$$

で、$0<b<\pi/2$ より $f(x) = \cos(b-bx)$ は $[0,1]$ は 上に凸な増加関数なので、

$$\max_{1\leq j\leq n}(t_j-t_{j-1}) = t_1-t_0 = \cos\frac{n-1}{n}\,b - \cos b \rightarrow 0$$

となるから、(71) は $n\rightarrow\infty$ のときに 定理 2、および (24) により (71) は

$$\lim_{n\rightarrow\infty } S(\Delta_n) = \int_{\cos b}^1\frac{1}{t}\,dt$$

に収束する。(63) よりこの値は

$$\log_e 1 -\log_e\cos b=-\log_e\cos b$$

になる。

元々 $x_k$ に関しては等分の分割だったので収束条件も満たされ、 よって、

$$I_{tan}(0,b) = \int_0^b \tan x dx = -\log_e \cos b$$ (72)

となることがわかり、2 節同様の議論により、

$$I_{tan}(a,b) = \int_a^b \tan x dx = -\log_e\cos b + \log_e\cos a$$ (73)

となる。

なお、(71) の和の部分は、$1/t$ の定積分の リーマン和の形で、上ではその極限を一回定積分に戻して、 それを以前求めた積分値 (63) を使って求めたが、 それを 8 節のように $t_k=e^{s_k}$ のように置き換えて直接その和の極限が積分値になることを 示すのは難しい。 それは、8 節では、$t_k=e^{s_k}$ の $s_k$ の方で 等分に分割することで和を求めたが、 (71) ではすでに $t_k$ の分点は確定していて、 $x_k$ の方で等分に取っているため、$s_k$ の方では等分にはできず、 そのリーマン和を求めることができないからである。

本稿は、元々定理 2 をベースにしていて、 「どのような分割でも極限が求まる」ということでその中の都合のいい 一つの分割を使って積分値を示しているから、 一度原始関数なしで別な形で積分値を求めていれば、 それを他の積分に流用することは 定理 2 の 元では問題ないだろう。