4 指数関数の定積分

次は、指数関数の定積分

$$I_{exp}(a,b) = \int_a^b A^x dx \hspace{1zw}(a<b)$$ (28)

を考える。ただし、$A>0$, $A\neq 1$ とする。 $x_k$ は等間隔に取るが、ここでは $a=0$ とはせずに考え、標本点は右端とする:

$$x_k = a + \frac{k}{n}(b-a),\hspace{1zw}\bar{x}_k=x_k\hspace{1zw}(1\leq k\leq n)$$ (29)

このとき、リーマン和は、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{k=1}^n A^{\bar{x}_k}(x_k-x_{k-1}) \ =\ \sum_{k=1}^n (A^{a+(b-a)k/n})\frac{b-a}{n}$$
		$=$	$$\frac{b-a}{n}A^{a}\sum_{k=1}^n \left(A^{(b-a)/n}\right)^k \ =\ \frac{b-a}{n}A^{a}\frac{A^{b-a}-1}{A^{(b-a)/n}-1}A^{(b-a)/n}$$

となり、よって、

$$S(\Delta_n)\frac{\displaystyle A^{(b-a)/n}-1}{(b-a)/n} = A^a(A^{b-a}-1)A^{(b-a)/n} = (A^b-A^a)A^{(b-a)/n}$$ (30)

となるが、良く知られているように、

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x} = 1$$ (31)

であり、ここから

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{A^x-1}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x\log_eA}-1}{x\log_eA}\,\log_eA = \log_e A$$ (32)

が得られるので、(30) で $n\rightarrow\infty$ とすると 左辺は $I_{exp}(a,b)\log_eA$ に収束し、右辺は $A^b-A^a$ に収束するので、

$$I_{exp}(a,b) = \int_a^b A^x dx = \frac{A^b-A^a}{\log_e A}$$ (33)

となる。