7 x の負の有理数乗の定積分

次は、$x$ の負の有理数乗 $x^{-\ell/m}$ の定積分

$$I_{-\ell/m}(a,b) = \int_a^b x^{-\ell/m}dx\hspace{1zw}(0<a<b)$$ (51)

を考える ($\ell,m$ は互いに素な自然数)。この場合も、リーマン和

$$S(\Delta_n)=\sum_{k=1}^n(\bar{x}_k)^{-\ell/m}(x_k-x_{k-1})$$ (52)

に対して $y_k$, $\bar{y}_k$ を (42) と同じにとると、 (44) と同様に

$$S(\Delta_n) = \sum_{k=1}^n(\bar{y}_{n-k+1})^{\ell/m} \left(\f... ...right) = \sum_{j=1}^n(\bar{y}_{j})^{\ell/m} \,\frac{y_j-y_{j-1}}{y_{j-1}y_j}$$ (53)

となる。 標本点 $\bar{y}_{j}$ を

$$\bar{y}_{j} =(y_{j-1})^{m/\ell}(y_j)^{1-m/\ell} =y_j\left(\frac{y_{j-1}}{y_j}\right)^{m/\ell}$$ (54)

とすると、これが $y_{j-1}\leq\bar{y}_{j}\leq y_j$ となるためには $0<m/\ell<1$ が必要で、よって以下ではまず $0<m/\ell<1$、すなわち

$$\ell \geq m+1$$ (55)

を仮定して話を進める。このとき、リーマン和は、

$$S(\Delta_n) = \sum_{j=1}^ny_{j-1}(y_j)^{\ell/m-1}\frac{y_j-y_{j-1}}{y_{j-1}y_j} = \sum_{j=1}^n(y_j)^{\ell/m-2}(y_j-y_{j-1})$$ (56)

となって $$\int y^{\ell/m-2}dy$$ のような形になる。 分点 $y_j$ を、

$$y_j = \left\{b^{-1/m}+(a^{-1/m}-b^{-1/m})\frac{j}{n}\right\}^m =\left(c+d\,\frac{j}{n}\right)^m = (A_j)^m \hspace{1zw}(0\leq j\leq n)$$ (57)

と取ると、 $A_{j-1} = A_j-d/n$ より、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{j=1}^n(A_j)^{\ell-2m}\left\{(A_j)^m -\left(A_j-\frac{d}{n}\right)^m\right\}$$
		$=$	$$-\sum_{j=1}^n (A_j)^{\ell-2m} \sum_{k=0}^{m-1}\left(\begin{array}... ...!\!m\!\! \\ \!\!k\!\! \end{array}\right)(A_j)^k\left(-\frac{d}{n}\right)^{m-k}$$
		$=$	$$-\sum_{k=0}^{m-1}\left(\begin{array}{c} \!\!m\!\! \\ \!\!k\!\! \end{array}\right)(-d)^{m-k}\frac{1}{n^{m-k}} \sum_{j=1}^n (A_j)^{\ell-2m+k}$$	(58)

と変形できる。ここで、条件 (55) より、 $k=m-1$ に対しては、 $\ell-2m+k=\ell-m-1\geq 0$ であるが、 $0\leq k<m-1$ に対しては $\ell-2m+k<0$ もありうる。その場合は、 $A_j\geq c$ より、

$$\frac{1}{n^{m-k}}\sum_{j=1}^n (A_j)^{\ell-2m+k} \leq \frac{c^{\ell-2m+k}}{n^{m-k-1}}\rightarrow 0$$

なので、そのような $k$ に対する項は $n\rightarrow\infty$ で 0 になる。 $0\leq k<m-1$ で $\ell-2m+k\geq 0$ の場合も、

$$\frac{d}{n}\sum_{j=1}^n (A_j)^{\ell-2m+k} =\frac{d}{n}\sum_{j=1}^... ...ft(c+d\,\frac{j}{n}\right)^{\ell-2m+k} \rightarrow\int_c^{c+d}x^{\ell-2m+k} dx$$

であるから、やはり

$$\frac{1}{n^{m-k}}\sum_{j=1}^n (A_j)^{\ell-2m+k}\rightarrow 0$$

となる。よって $n\rightarrow\infty$ のときに (58) で 残るのは $k=m-1$ の項のみで、それは

	$${ -\left(\begin{array}{c} \!\!m\!\! \\ \!\!m-1\!\! \end{array}\r... ...m-1} \ =\ m\,\frac{d}{n}\sum_{j=1}^n\left(c+d\,\frac{j}{n}\right)^{\ell-m-1} }$$
		$\rightarrow$	$$m\int_c^{c+d} x^{\ell-m-1}dx \ =\ mI_{\ell-m-1}(c,c+d) \ =\ \frac{m}{\ell-m}\{(c+d)^{\ell-m}-c^{\ell-m}\}$$
		$=$	$$\frac{m}{\ell-m}(a^{-(\ell-m)/m}-b^{-(\ell-m)/m})$$

となる。あとは、 $\delta(\Delta_n)\rightarrow 0$ を示せばこれが $I_{-\ell/m}(a,b)$ となる。(57) より、

$$x_k = \frac{1}{y_{n-k}} = \frac{1}{(c+d(n-k)/n)^m} = \frac{1}{(c+d-dk/n)^m}$$

であり、$f_1(x)=1/x^m$ は下に凸な減少関数で、よって $f_2(x)=1/(c+d-dx)^m=f_1(c+d-dx)$ は $[0,1]$ で下に凸な増加関数だから、 命題 4 より $\delta(\Delta_n)$ は $k=n$ で最大値をとり、

$$\delta(\Delta_n) = x_n - x_{n-1} = \frac{1}{c^m}-\frac{1}{(c+d/n)^m} \rightarrow 0$$

となって収束条件も満たされる。これで、(55) の元では、

$$I_{-\ell/m}(a,b) = \frac{m}{\ell-m}(a^{-(\ell-m)/m}-b^{-(\ell-m)/m}) = \frac{1}{1-\ell/m}\,(b^{1-\ell/m}-a^{1-\ell/m})$$ (59)

が示されたことになる。

あとは、(55) 以外の

$$1\leq \ell<m$$ (60)

の場合を考えればよい。なお、$\ell$ と $m$ は互いに素と仮定しているので $\ell=m$ の場合は考えなくてよい。 この場合リーマン和 (52) は、 分点 $x_k$ を

$$x_k =\left\{a^{1/m}+(b^{1/m}-a^{1/m})\,\frac{k}{n}\right\}^m =\left(p+q\,\frac{k}{n}\right)^m = (B_k)^m$$

ととり、$\bar{x}_k=x_k$ とすると、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{k=1}^n(\bar{x}_k)^{-\ell/m}(x_k-x_{k-1}) \ =\ \sum_{k=1}^n (B_k)^{-\ell} \left\{(B_k)^m-\left(B_k-\frac{q}{n}\right)^m\right\}$$
		$=$	$$-\sum_{k=1}^n (B_k)^{-\ell} \sum_{j=0}^{m-1}\left(\begin{array}{c... ...\!m\!\! \\ \!\!j\!\! \end{array}\right)(B_k)^j \left(-\frac{q}{n}\right)^{m-j}$$
		$=$	$$-\sum_{j=0}^{m-1}\left(\begin{array}{c} \!\!m\!\! \\ \!\!j\!\! \end{array}\right) \left(-\frac{q}{n}\right)^{m-j} \sum_{k=1}^n (B_k)^{j-\ell}$$	(61)

となる。ここで、$j=m-1$ に対しては、 (60) より $j-\ell=m-1-\ell\geq 0$ と なるが、$0\leq j<m-1$ のときは $j-\ell<0$ もありうる。 しかしそのときは、$B_k\geq p$ より、

$$\frac{1}{n^{m-j}}\sum_{k=1}^n (B_k)^{j-\ell} \leq \frac{p^{j-\ell}}{n^{m-1-j}} \rightarrow 0$$

となるし、$j-\ell\geq 0$ ならば、

$$\frac{q}{n}\sum_{k=1}^n (B_k)^{j-\ell} =\frac{q}{n}\sum_{k=1}^n \left(p+q\,\frac{k}{n}\right)^{j-\ell} \rightarrow \int_p^{p+q} x^{j-\ell} dx$$

より、やはりその項は 0 に収束するから残るのは $j=m-1$ の項だけで、 (16) よりそれは

	$${ -\left(\begin{array}{c} \!\!m\!\! \\ \!\!m-1\!\! \end{array}\r... ...ell} \ =\ m\,\frac{q}{n}\sum_{k=1}^n\left(p+q\,\frac{k}{n}\right)^{m-1-\ell} }$$
		$\rightarrow$	$$m\int_p^{p+q}x^{m-1-\ell}dx \ =\ mI_{m-1-\ell}(p,p+q) \ =\ \frac{m}{m-\ell}\{(p+q)^{m-\ell}-p^{m-\ell}\}$$
		$=$	$$\frac{m}{m-\ell}\{b^{(m-\ell)/m}-a^{(m-\ell)/m}\}$$

となって極限は (59) と同じ式になる。 あとは $\delta(\Delta_n)\rightarrow 0$ を示せばよいが、

$$x_k = \left(p+q\,\frac{k}{n}\right)^m$$

は、$f(x)=(p+qx)^m$ が下に凸な増加関数なので $\delta(\Delta_n)$ は $k=n$ で最大値を取り、よって

$$\delta(\Delta_n) =(p+q)^m-\left(p+q\,\frac{n-1}{n}\right)^m \rightarrow 0$$

となって、収束条件も満たされる。 よって、(60) の場合も、 $I_{-\ell/m}$ は (59) となる。