8 x の -1 乗の定積分

$x$ の巾乗は、上までに有理数乗では $-1$ 乗以外の定積分はすべて 考えたことになるから、次は $x^{-1}$ の定積分

$$I_{-1}(a,b) = \int_a^bx^{-1}dx\hspace{1zw}(0<a<b)$$ (62)

を考える。 この場合は、リーマン和

$$S(\Delta_n)=\sum_{k=1}(\bar{x}_k)^{-1}(x_k-x_{k-1})$$

で $x_k=e^{y_k}$, $\bar{x}_k=e^{\bar{y}_k}$ とすると、

$$\log_e a=y_0<y_1<\cdots<y_n=\log_e b$$

で

$$S(\Delta_n) =\sum_{k=1}^ne^{-\bar{y}_k} (e^{y_k}-e^{y_{k-1}}) =\sum_{k=1}^n(e^{-\bar{y}_k+y_k} - e^{-\bar{y}_k+y_{k-1}})$$

となるが、標本点 $\bar{y}_k$ を $\bar{y}_k=(y_k+y_{k-1})/2$ と 取ると、

$$S(\Delta_n)=\sum_{k=1}^n\{e^{(y_k-y_{k-1})/2} -e^{-(y_k-y_{k-1})/2}\}$$

となるので、分点 $y_k$ を等間隔

$$y_k = \log_e a+\frac{k}{n}\left(\log_e b-\log_e a\right) =c+d\,\frac{k}{n}$$

と取ると $d>0$ で、(31) より、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{k=1}^n\{e^{d/(2n)}-e^{-d/(2n)}\} \ =\ n\{e^{d/(2n)}-e^{-d/(2n)}\} \ =\ \frac{e^{d/n}-1}{d/n}e^{-d/(2n)}d$$
		$\rightarrow$	$$d \ =\ \log_e b-\log_e a$$

となる。 $\delta(\Delta_n)$ は、

$$x_k = e^{y_k} = e^{c+dk/n}$$

で $f(x)=e^{c+dx}$ は下に凸な増加関数なので、最大値は $k=n$ で取り、

$$\delta(\Delta_n) = e^{c+d}-e^{c+d(n-1)/n} \rightarrow 0$$

となって、よって

$$I_{-1}(a,b)=\log_e b-\log_e a$$ (63)

となることがわかる。