6 x の -1 乗以外の負の整数乗

次は、$x$ の負の整数乗 $x^{-\ell}$ ($\ell$ は 2 以上の自然数) の定積分

$$I_{-\ell}(a,b) = \int_a^b x^{-\ell}dx \hspace{1zw}(0<a<b)$$ (40)

を考えるが、この場合も分点は等間隔には取らない。 リーマン和は

$$S(\Delta_n)=\sum_{k=1}^n(\bar{x}_k)^{-\ell}(x_k-x_{k-1})$$ (41)

となるが、ここで、

$$x_k=1/y_{n-k}\hspace{0.5zw}(0\leq k\leq n), \hspace{1zw}\bar{x}_k=1/\bar{y}_{n-k+1}\hspace{0.5zw}(1\leq k\leq n)$$ (42)

とする。 すなわち、$1/x$ を $y$ として、大小が逆順になるので添字を 逆順につけ直したものを $y_j$ とすると

$$\frac{1}{a}=y_n>y_{n-1}>\cdots>y_0=\frac{1}{b}, \hspace{1zw}y_j\geq \bar{y}_{j}\geq y_{j-1}$$ (43)

となる。このとき、リーマン和を $y$ で書くと

$$S(\Delta_n) =\sum_{k=1}^n(\bar{y}_{n-k+1})^{\ell}\left(\frac{1}... ...sum_{j=1}^n(\bar{y}_{j})^{\ell}\left(\frac{1}{y_{j-1}} -\frac{1}{y_{j}}\right)$$ (44)

となるが、標本点 $\bar{y}_{j}$ を

$$\bar{y}_{j} =(y_{j-1})^{1/\ell}(y_j)^{1-1/\ell} =y_j\left(\frac{y_{j-1}}{y_j}\right)^{1/\ell}$$ (45)

とすれば、 $0<y_{j-1}/y_j<1$ なので

$$1> \left(\frac{y_{j-1}}{y_j}\right)^{1/\ell} > \frac{y_{j-1}}{y_j}$$

だから、確かに $y_j>\bar{y}_{j}>y_{j-1}$ となる。 このとき、$S(\Delta_n)$ は

$$S(\Delta_n) =\sum_{j=1}^n{y}_{j-1}(y_j)^{\ell-1}\frac{y_j-y_{j-1}}{y_{j-1}y_{j}} =\sum_{j=1}^n(y_j)^{\ell-2}(y_j-y_{j-1})$$ (46)

となるので、丁度 $$\int y^{\ell-2}dy$$ のような形になるが、 これはまさに (40) の $x=1/y$ に関する置換積分に 対応する。

$y_j$ を、区間 $[1/b,1/a]$ の $n$ 等分点

$$y_j = \frac{1}{b}+\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\frac{j}{n} =c+d\,\frac{j}{n}\hspace{1zw}(0\leq j\leq n)$$ (47)

と取ると、

$$S(\Delta_n) =\sum_{j=1}^n\left(c+d\,\frac{j}{n}\right)^{\ell-2}\frac{d}{n}$$ (48)

となり、$\ell\geq 2$ より、これは $n\rightarrow\infty$ のときに

$$S=\int_c^{c+d} y^{\ell-2}dy$$

に収束するから、2 節 (16) の 結果より、

$$S = I_{\ell-2}(c,c+d) = \frac{1}{\ell-1}\{(c+d)^{\ell-1}-c^{... ...-1}\} = \frac{1}{\ell-1}\left(\frac{1}{a^{\ell-1}}-\frac{1}{b^{\ell-1}}\right)$$ (49)

となる。 なお、これは、(16) を用いなくても、 (48) を展開して (14) を用いて 直接極限を求めることでも得られるのであるが、 その後の式の変形が少し面倒になる。

なお、この $S$ が $I_{-\ell}(a,b)$ に一致するためには、 収束条件 (4) を満たすことを示す必要があるが、

$$x_k = \frac{1}{y_{n-k}} = \frac{1}{\displaystyle c+d\,\frac{n-k}{n}} = \frac{1}{\displaystyle c+d-d\,\frac{k}{n}}$$

で、 $f(x)=1/(c+d-dx)$ は $[0,1]$ で下に凸な増加関数であるから、 命題 4 より、 $\delta(\Delta_n)$ は $k=n$ で 最大値を取り、

$$\delta(\Delta_n) = x_n - x_{n-1} = \frac{1}{y_0}-\frac{1}{y_1} = \frac{1}{c} - \frac{1}{c+d/n} =\frac{d/n}{c(c+d/n)}$$

となるので $\delta(\Delta_n)\rightarrow 0$ が言え、 これで収束条件が満たされ、

$$I_{-\ell}(a,b) = \frac{1}{\ell-1}\left(\frac{1}{a^{\ell-1}}-\frac{1}{b^{\ell-1}}\right) =\frac{1}{1-\ell}(b^{1-\ell}-a^{1-\ell})$$ (50)

となる。