5 x の正の有理数乗の定積分

ここから数節は、2 節で考えた $x$ の自然数乗の積分を、 負の整数乗や有理数乗などに拡張することを考える。 まず本節では、正の有理数乗の積分

$$I_{\ell/m}(a,b) = \int_a^b x^{\ell/m} dx \hspace{1zw}(0\leq a<b)$$ (34)

を考える。ここで、$\ell,m$ は互いに素な自然数とする。 この場合も、

$$I_{\ell/m}(a,b)=I_{\ell/m}(0,b)-I_{\ell/m}(0,a)$$

より $a=0$, $b>0$ として考えればよいのでそれで考える。

まずは、例えば $$\frac{\ell}{m}=\frac{1}{2}$$ の場合を考えてみる。 2 節と同様に $x_k$ を等分割 (10) で 取ると、この場合は

$$\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n \sqrt{k}$$

の極限が必要になるが、これを求めるのは難しそうなので、 2 節とは異なり等分ではない分割を考え、 $x_k$, $\bar{x}_k$ を以下のように取る:

$$x_k = \left(\frac{k}{n}\right)^2b\hspace{1zw}(0\leq k\leq n), \hspace{1zw}\bar{x}_k = x_k$$ (35)

このようにすると、リーマン和は、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{k=1}^n\sqrt{\bar{x}_k}(x_k-x_{k-1}) \ =\ \sum_{k=1}^n \fra... ...sqrt{b} \left\{\left(\frac{k}{n}\right)^2-\left(\frac{k-1}{n}\right)^2\right\}b$$
		$=$	$$\frac{b\sqrt{b}}{n^3}\sum_{k=1}^nk(2k-1) \ =\ \frac{b\sqrt{b}}{n^3}\left\{\frac{n}{3}(n+1)(2n+1)-\frac{n}{2}(n+1)\right\}$$
		$\rightarrow$	$$\frac{2}{3}\,b\sqrt{b}$$

となるが、 $x_k-x_{k-1}=b(2k-1)/n^2$ なので、

$$\delta(\Delta_n)=\frac{b(2n-1)}{n^2}\rightarrow 0$$

となって収束条件 (4) を満たす。 よって、

$$I_{1/2}(0,b)=\int_0^b\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}\,b\sqrt{b}, \hspace{0.5zw}I_{1/2}(a,b)=\int_a^b\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}(b\sqrt{b}-a\sqrt{a})$$ (36)

となることがわかる。

一般の $\ell/m$ 乗の場合は、分割を

$$x_k = \left(\frac{k}{n}\right)^m b\hspace{1zw}(0\leq k\leq n), \hspace{1zw}\bar{x}_k = x_k$$ (37)

とすると、リーマン和は

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{k=1}^n({\bar{x}_k})^{\ell/m}(x_k-x_{k-1}) \ =\ \sum_{k=1}^... ...\ell/m} \left\{\left(\frac{k}{n}\right)^m-\left(\frac{k-1}{n}\right)^m\right\}b$$
		$=$	$$\frac{b^{1+\ell/m}}{n^{\ell+m}}\sum_{k=1}^nk^\ell\{k^m-(k-1)^m\}$$

となるが、この $n\rightarrow\infty$ の極限は (14) より

$$b^{1+\ell/m}\left(\begin{array}{c} \!\!m\!\! \\ \!\!m-1\!\! \end{array}\right)\frac{1}{\ell+m} =b^{1+\ell/m}\,\frac{m}{\ell+m}$$ (38)

となる。 ここで一つ命題を紹介する。

命題 4

$x_k$ を区間 $[a,b]$ の等分点 $x_k=a+(b-a)k/n$ ($0\leq k\leq n$) とし、 $[a,b]$ 上の関数 $f(x)$ に対して $b_k=f(x_k)-f(x_{k-1})$ ($1\leq k\leq n$) とする。

1. $f(x)$ が $[a,b]$ で下に凸な増加関数の場合、$b_k$ は増加数列。
2. $f(x)$ が $[a,b]$ で上に凸な増加関数の場合、$b_k$ は減少数列。
3. $f(x)$ が $[a,b]$ で下に凸な減少関数の場合、$\vert b_k\vert=-b_k$ は減少数列。
4. $f(x)$ が $[a,b]$ で上に凸な減少関数の場合、$\vert b_k\vert=-b_k$ は増加数列。

証明

$f(x)$ が下に凸 (強凸) とは、$[a,b]$ 内の任意の $p,q$ ($p,q$), 任意の $\theta\in[0,1]$ に対して

$$f(\theta p+(1-\theta)q)<\theta f(p)+(1-\theta)f(q)$$

となることであるから、$p=x_{k-1}$, $q=x_{k+1}$, $\theta=1/2$ に 対して $\theta p+(1-\theta) q = x_k$ なので、

$$f(x_k)<\frac{f(x_{k-1})+f(x_{k+1})}{2}$$

となり、よって $f(x_k)-f(x_{k-1})<f(x_{k+1})-f(x_k)$ と なるので $b_k<b_{k+1}$ となる。 よって、$f(x)$ が増加関数ならば $b_k$ は増加数列、 $f(x)$ が減少関数ならば $\vert b_k\vert=-b_k$ は減少数列。

$f(x)$ が上に凸な場合は、不等号の向きが逆になるだけで、 上と同様にして言える。

定積分に戻ると、 (37) に関して命題 4 を適用すると、 $x^m$ は下に凸な増加関数なので、 $\delta(\Delta_n)$ は $k=n$ で 最大値を取り、

$$\delta(\Delta_n) = \left\{1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^m\right\}b$$

となるから、 $n\rightarrow\infty$ のときに $\delta(\Delta_n)\rightarrow 0$ となり収束条件も満たす。 以上より、

$$\begin{array}{ll} I_{\ell/m}(0,b) &\displaystyle =\int_0^bx^{\e... ...=\int_a^bx^{\ell/m}dx =\frac{b^{1+\ell/m}-a^{1+\ell/m}}{1+\ell/m} \end{array}$$ (39)

が得られることになる。