3.5 オイラー座標系の理想気体の場合の例

ここでは、2.4, 2.5 節で紹介した、 オイラー座標系での理想気体の保存則方程式系 (2.10), (2.15), (2.16) に対する固有値、固有ベクトル、リーマン不変量、膨張波解を計算する。

まず、

$$\left\{\begin{array}{l} \rho_t+(\rho u)_x=0,\\ (\rho u)_... .... \hspace{1zw}\left(e=\frac{1}{\gamma-1}\,\frac{P}{\rho}\right)$$ (3.31)

を扱うが、そのために $(\rho,m,E)$ で考えても、 $(\rho,u,P)$ で考えても、それらには本質的な違いはないことを まず示す。

命題 3.2

準線形方程式系 (3.3) が $U=G(W)$ ( $\vert\nabla_W G(W)\vert\neq 0$) によって

$$W_t+B(W) W_x=0$$ (3.32)

と変換されるとき、(3.13) に 対する固有値 $\mu_j(W)$, 左右の固有ベクトル $\alpha_j(W)$, $\beta_j(W)$, $j$-リーマン不変量 $z(W)$ は、 以下のように得られる:

$$\begin{eqnarray*}% latex2html id marker 2954 && \mu_j(W)=\lambda_j\bigl(G(W)\big... ...)$\ は (\ref{eq:sec:rare:system_quasi}) の $j$-リーマン不変量}) \end{eqnarray*}$$

また、

$$\nabla_W\mu_j(W)\beta_j(W)=\nabla_U\lambda_j(U)r_j(U)$$

が成り立ち、よって線形退化性、真性非線形性もこの変換で不変である。

証明

(3.3) に $U=G(W)$ を代入すると

$$U_t=\nabla_W G(W)W_t,\hspace{1zw}U_x=\nabla_W G(W)W_x$$

より、(3.13) の $B(W)$ は

$$B(W)=(\nabla_W G(W))^{-1}A(G(W))\nabla_W G(W)$$

となる。よって $B(W)$ の固有値は $\mu_j=\lambda_j(G(W))$ であり、 固有ベクトルは

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mu_j(W)l_j\bigl(G(W)\bigr)\nabla_W G(W) -l_j\bigl(G(... ...(G(W)\bigr) -A\bigl(G(W)\bigr)l_j\bigl(G(W)\bigr)\right\} = 0 \end{eqnarray*}$$

より、 $\alpha_j=l_j\nabla_W G$, $\beta_j=(\nabla_W G)^{-1}r_j$ となる。

$w(U)$ を (3.3) の $j$-リーマン不変量とし、$z(W)=w(G(W))$ とすると、

$$\begin{eqnarray*}\nabla_W z(W)\beta_j(W) &=& \nabla_U w(G(W))\nabla_W G(W) (\n... ..._W G(W))^{-1}r_j(G(W)) \\ &=& \nabla_U w(G(W))r_j(G(W)) = 0 \end{eqnarray*}$$

となるので、$z(W)$ が $j$-リーマン不変量となる。 また、

$$\nabla_W\mu_j\cdot \beta_j = \nabla_U\lambda_j(G)\nabla_W G (\nabla_W G)^{-1} r_j(G) = \nabla_U\lambda_j(G)r_j(G)$$

となるので、 (3.3) と (3.13) の線形退化性、真性非線形性も変わらない。

この命題 3.2 より、 (3.12) を $(\rho,u,P)$ の式に直して考えてもよい ので、それで考える。 (3.12) の第 1 式、第 2 式より、

$$0 =\rho_t u+ \rho u_t+(\rho u)_x u+\rho uu_x+P_x =\rho(u_t+uu_x)+P_x$$

となるので $u$ に関する方程式は

$$u_t+uu_x+\frac{1}{\rho}P_x=0$$

となる。第 3 式は $\rho e=P/(\gamma-1)$ より、

$$\begin{eqnarray*}0 &=& \left(\frac{1}{2}\rho u^2\right)_t+\frac{1}{\gamma-1}P_... ...gamma-1}P_t+\frac{\gamma}{\gamma-1}Pu_x +\frac{1}{\gamma-1}P_x u\end{eqnarray*}$$

となるので、結局 $U={\,}^T\!(\rho,u,P)$ の方程式

$$\left[\begin{array}{c}\rho\\ u\\ P\end{array}\right]_t +\l... ...ht] \left[\begin{array}{c}\rho\\ u\\ P\end{array}\right]_x =0$$ (3.33)

が得られる。この場合、$\Omega$ は

$$\Omega=\{{\,}^T\!(\rho,u,P);\ \rho>0,\ P>0\}$$

となる。

$$\left\vert \begin{array}{ccc} \lambda-u & -\rho & 0 \\ [.5... ... (\lambda-u)\left\{(\lambda-u)^2-\frac{\gamma P}{\rho}\right\}$$

より、固有値は

$$\lambda_1=u-C,\hspace{1zw}\lambda_2=u,\hspace{1zw}\lambda_3=u+C \hspace{1zw}\left(C=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}\right)$$

固有ベクトルは $r=c_0{\,}^T\!(1,(\lambda-u)/\rho,(\lambda-u)^2)$ と とればよいので、

$$r_1=\left[\begin{array}{c}-\rho\\ C\\ -\gamma P\end{array}\r... ..._3=\left[\begin{array}{c}\rho\\ C\\ \gamma P\end{array}\right]$$

となる (これらは命題 3.2 の $\beta_j$ にあたる)。

$C_\rho=-C/(2\rho)$, $C_P=C/(2P)$ なので、

$$\nabla_U\lambda_1 = \left(\frac{C}{2\rho},1,-\frac{C}{2P}\ri... ...abla_U\lambda_3 = \left(-\frac{C}{2\rho},1,\frac{C}{2P}\right)$$

となり、

$$\nabla_U\lambda_1\cdot r_1 =-\frac{C}{2}+C+\frac{\gamma}{2... ...hspace{1zw} \nabla_U\lambda_3\cdot r_3 =\frac{\gamma+1}{2}C>0$$ (3.34)

となるので 1-特性方向、3-特性方向は真性非線形である。

一方、 $\nabla_U\lambda_2=(0,1,0)$ より $\nabla_U\lambda_2\cdot r_2\equiv 0$ であるので、2-特性方向は線形退化となる。 よって、2-特性方向には膨張波解は存在しない。

次にリーマン不変量を求める。 1-リーマン不変量は、

$$\nabla_U w\cdot r_1 = -\rho w_{\rho}+Cw_u -\gamma P w_P = -(\rho w_{\rho}-Cw_u +\gamma P w_P) = 0$$

となるので、微分方程式 ($r_1$ の積分曲線を与える方程式)

$$\begin{array}{l} \displaystyle \frac{d \rho}{d s}=\rho,\hs... ... P,\\ [.5zh] (\rho(0),u(0),P(0))=(\rho_0,u_0,P_0) \end{array}$$ (3.35)

を解くと、

$$\rho=\rho_0 e^{s},\hspace{1zw}P=P_0 e^{\gamma s}$$ (3.36)

となる。よって、

$$C=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} =\sqrt{\frac{\gamma P_0}{\r... ...^{\theta s} \hspace{1zw}\left(\theta=\frac{\gamma-1}{2}\right)$$ (3.37)

より

$$\frac{d u}{d s}=-C_0 e^{\theta s}$$

となるので、よって

$$u=u_0-\frac{C_0}{\theta}(e^{\theta s}-1)$$ (3.38)

となる。

Rimann 不変量はこの積分曲線 (3.17), (3.19) 上不変で $w(\rho,u,P)=w(\rho_0,u_0,P_0)$ となるものだから、 (3.17) で $s$ を消去すると、

$$\frac{P}{P_0}=e^{\gamma s}=\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^\gamma$$

より、

$$\frac{P}{\rho^\gamma}=\frac{P_0}{\rho_0^\gamma}$$

となるので、 $w=P/\rho^\gamma$ が一つの 1-リーマン不変量である。

また、(3.18), (3.19) より

$$u_0+\frac{C_0}{\theta}=u+\frac{C_0}{\theta}e^{\theta s}=u+\frac{C}{\theta}$$

となるので、$w=u+C/\theta$ がもうひとつの 1-リーマン不変量となる。 $w=\rho$ とすると、

$$\nabla_U w\cdot r_1 = \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]r_1=1$$

であるから、この 2 つのリーマン不変量に $\rho$ を加えると、 この $(P/\rho^\gamma,u+C/\theta,\rho)$ は相空間 $\Omega$ 上で $U={\,}^T\!(\rho,u,P)$ は 1 対 1 に対応する。

同様に、3-リーマン不変量の場合は、 (3.17) と

$$u=u_0+\frac{C_0}{\theta}(e^{\theta s}-1)$$

とより、$P/\rho^\gamma$ と $u-C/\theta$ が 3-リーマン不変量であり、

$$\nabla_U \rho r_3 = 1$$

なので、 $(P/\rho^\gamma,u-C/\theta,\rho)$ と $U$ は 1 対 1 に対応する。

2-リーマン不変量は、

$$\nabla_U w\cdot r_2=w_\rho=0$$

より、$u$, $P$ が 2-リーマン不変量であり、 同様に $\rho$ をつけ加えると $U$ と 1 対 1 に対応する (この場合は $U$ 自身になる)。

1-膨張波曲線 $R_1(U_0)$ は、

$$\frac{P}{\rho^\gamma}=\frac{P_0}{\rho_0^\gamma},\hspace{1zw} u+\frac{C}{\theta}=u_0+\frac{C_0}{\theta}$$

を満たしながら $\lambda_1(U)=u-C$ の増加方向に進む。 (3.16) より、

$$\frac{d}{d s}\lambda_1 =\nabla_U\lambda_1(U(s))U'(s) =-\nabla_U\lambda_1(U(s))r_1(U(s))<0$$

となるので、$s$ の減少する方向が $R_1(U_0)$ の伸びる方向。 よって、$s\leq 0$ で、

$$\begin{array}{l} \displaystyle \rho=\rho_0e^s\leq \rho_0, ... ...splaystyle \left(\theta=\frac{\gamma-1}{2}>0\right) \end{array}$$

となるので、結局 $R_1(U_0)$ は、

$$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{P}{\rho^\gamma... ...zw}(\rho\leq\rho_0,\hspace{1zw}P\leq P_0,\hspace{1zw}u\geq u_0)$$

またはパラメータ表示により、

$$\left\{\begin{array}{l} \rho=\rho_0e^s,\\ [.5zh] \display... ...h] P=P_0e^{\gamma s} \end{array}\right. \hspace{1zw}(s\leq 0)$$ (3.39)

と表される。

ここで、$s=-\delta$ とすれば $\delta\geq 0$ で、丁度

$$\frac{d U}{d \delta} =\left[\begin{array}{c}-\rho_0e^{-\delt... ...eft(C=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}=C_0e^{-\theta\delta}\right)$$

となる。

また、1-膨張波 $U=U(t,x)$ は、(3.8) より $\lambda_1(U)=x/t$ を満たす必要があるので、 $\delta$ によるパラメータ表示の式を代入すれば、

$$\begin{eqnarray*}\lambda_1(U(\delta)) &=& u-C = u_0-\frac{C_0}{\theta}(e^{-\... ...-\frac{1+\theta}{\theta}C_0e^{-\theta\delta} \\ &=& \frac{x}{t}\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$e^{-\theta\delta} = \frac{\theta}{1+\theta}\,\frac{1}{C_0} \left(u_0+\frac{C_0}{\theta}-\frac{x}{t}\right)$$

より

$$e^{-\delta} = \left\{\frac{\theta}{1+\theta}\,\frac{1}{C_0}... ...ft(u_0+\frac{C_0}{\theta}-\frac{x}{t}\right)\right\}^{1/\theta}$$ (3.40)

となる。これを、(3.20) ($s=-\delta$) に代入すれば、 1-膨張波解を $(t,x)$ の式で表すことができることになる。 容易にわかる通り、$u$ は $x/t$ の一次式になる。より詳しく見れば、

$$\begin{eqnarray*}u &=& u_0+\frac{C_0}{\theta}-\frac{C_0}{\theta}e^{-\theta\de... ...(u_0+\frac{C_0}{\theta}\right) +\frac{1}{1+\theta}\, \frac{x}{t}\end{eqnarray*}$$

のようになる。

図 3.4: ある $t>0$ に対する膨張波解のグラフ

同様にして、3-膨張波曲線 $R_3(U_0)$ は、

$$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{P}{\rho^\gamma... ...zw}(\rho\geq\rho_0,\hspace{1zw}P\geq P_0,\hspace{1zw}u\geq u_0)$$

またはパラメータ表示により

$$\left\{\begin{array}{l} \rho=\rho_0e^s,\\ P=P_0e^{\gamma... ...heta}(e^{\theta s}-1) \end{array}\right. \hspace{1zw}(s\geq 0)$$ (3.41)

と表される。 こちらは、$s=\delta$ ($\delta\geq 0$) でそのまま $dU/d\delta=r_2(U)$ となり、

$$\begin{eqnarray*}\lambda_2(U(\delta)) &=& u+C = u_0-\frac{C_0}{\theta}+\frac... ...}+\frac{1+\theta}{\theta}C_0e^{\theta\delta} \\ &=& \frac{x}{t}\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$e^{\delta} = \left\{\frac{\theta}{1+\theta}\,\frac{1}{C_0} ... ...t(-u_0+\frac{C_0}{\theta}+\frac{x}{t}\right)\right\}^{1/\theta}$$

を (3.22) ($s=\delta$) に代入すれば 3-膨張波を $x/t$ で表せる。 この場合も $u$ は $x/t$ の一次式であり、

$$u=\frac{\theta}{1+\theta}\left(u_0-\frac{C_0}{\theta}\right) +\frac{1}{1+\theta}\, \frac{x}{t}$$

となる。