2.4 質量保存則

次に、 $a\leq x\leq b$ での、時刻 $c\leq t\leq d$ の間の質量変化

$\begin{displaymath} M^1_{[a,b]}(d)-M^1_{[a,b]}(c) \end{displaymath}$

を考える。この質量の増加分は、この間に

に左から流入した質量 $N^1_{[c,d]}(a)$ と、

から右へ流出した質量 $N^1_{[c,d]}(b)$ との差に等しいので、

$\begin{displaymath} M^1_{[a,b]}(d)-M^1_{[a,b]}(c)=N^1_{[c,d]}(a)-N^1_{[c,d]}(b)\end{displaymath}$

(2.8)

が成り立つ。これを $\bar{M}^1$ , $\bar{N}^1$ で書き下すと、

$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\bar{M}^1(d,b)-\bar{M}^1(d,a)-\bar{M}^1(c,b)+\bar{M}^1... ... &=& \bar{N}^1(d,a)-\bar{N}^1(c,a)-\bar{N}^1(d,b)+\bar{N}^1(c,b)\end{eqnarray*}$

となる。これは、任意の

について成り立つので、

とすれば、定義より $\bar{M}^1(t,x_0)=\bar{N}^1(t_0,x)=0$ なので、

$\begin{displaymath} %\bar{M}^1(t,x)-\bar{M}^1(t_0,x)=\bar{N}^1(t,x_0)-\bar{N}^1... ...\bar{M}^1(t,x)+\bar{N}^1(t,x)=\bar{M}^1(t_0,x)+\bar{N}^1(t,x_0)\end{displaymath}$

(2.9)

が得られる。

これをとで微分すれば、右辺はのみの関数とのみの関数なので 0 となり、また (2.3), (2.7) より

$\begin{displaymath} \rho_t+(\rho u)_x=0\end{displaymath}$

(2.10)

が得られる。これは質量保存を示す微分方程式で、連続の方程式 と呼ばれる。

なお、(2.9) は $\bar{M}^1$ , $\bar{N}^1$ に対する質量保存則を意味する。

竹野茂治＠新潟工科大学
2018-08-01