3.6 ラグランジュ座標系の理想気体の場合の例

次に、2.6 節のラグランジュ座標系での方程式系 (2.19) に対して、同様の考察を行う。

ここでは、(2.19) は ${}~$ は外して、 また $(\tau,z)$ も $(t,x)$ と書くことにする。

まず、(2.19) を $U={\,}^T\!(v,u,P)$ に関する 準線形の方程式系に書き直す。 $e=Pv/(\gamma-1)$ であるから、 最後のエネルギー保存の方程式は、

$$\begin{eqnarray*}0 &=& uu_t+\frac{1}{\gamma-1}P_t v+\frac{1}{\gamma-1}Pv_t+P_... ...Pu_x \\ &=& \frac{1}{\gamma-1}P_t v+\frac{\gamma}{\gamma-1}Pu_x\end{eqnarray*}$$

となるので、結局この場合は、

$$\left[\begin{array}{c}v\\ u\\ P\end{array}\right]_t +\left[\... ...right] \left[\begin{array}{c}v \\ u\\ P\end{array}\right]_x =0$$

となる。

$$\left\vert \begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \la... ...\right\vert = \lambda\left(\lambda^2-\frac{\gamma P}{v}\right)$$

より、固有値は

$$\lambda_1=-\frac{C}{v}, \hspace{1zw}\lambda_2=0, \hspace{1zw}\lambda_3=\frac{C}{v} \hspace{1zw}(C=\sqrt{\gamma Pv})$$

固有ベクトルは $r=c_1{\,}^T\!(1,-\lambda,-\lambda^2)$ ととればよいので、

$$r_1=\left[\begin{array}{c}v\\ C \\ -\gamma P\end{array}\righ... ...r_3=\left[\begin{array}{c}-v\\ C \\ \gamma P\end{array}\right]$$

となる。 $(C/v)_v=-C/(2v^2)$, $(C/v)_P=C/(2vP)$ より、

$$\nabla_U\lambda_1 = \left(\frac{C}{2v^2},0,-\frac{C}{2vP}\ri... ...abla_U\lambda_3 = \left(-\frac{C}{2v^2},0,\frac{C}{2vP}\right)$$

となり、2-特性方向は線形退化、

$$\nabla_U\lambda_1\cdot r_1 = \frac{C}{2v}+\frac{\gamma C}... ...hspace{1zw} \nabla_U\lambda_3\cdot r_3 =\frac{\gamma+1}{2v}C>0$$ (3.42)

なので、1-特性方向、3-特性方向は真性非線形となる。

リーマン不変量は、2-リーマン不変量は

$$\nabla_U w\cdot r_2 = w_v=0$$

より $u$, $P$ が 2-リーマン不変量で、1-リーマン不変量は、

$$\nabla_U w\cdot r_1 = vw_v+Cw_u-\gamma P w_P = 0$$

より、常微分方程式

$$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{d v}{d s}=v,\hs... ...(U)\right)\\ (v(0),u(0),P(0))=(v_0,u_0,P_0)\end{array}\right.$$

を解くと、$v=v_0e^s$, $P=P_0e^{-\gamma s}$ で、

$$\frac{d u}{d s}=C=\sqrt{\gamma Pv}=C_0e^{-\theta s}$$

より

$$u=u_0-\frac{C_0}{\theta}(e^{-\theta s}-1)$$

となるので、

$$\frac{P}{P_0}=\left(\frac{v}{v_0}\right)^{-\gamma}, \hspace{1zw} u+\frac{C}{\theta}=u_0+\frac{C_0}{\theta}$$

より、$Pv^\gamma$, $u+C/\theta$ が 1-リーマン不変量、 同様にして 3-リーマン不変量は $Pv^\gamma$, $u-C/\theta$ がそれであることがわかり、 よってリーマン不変量は、ラグランジュ座標とオイラー座標で 不変であることがわかる。 また、

$$\nabla_U v\cdot r_j=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]r_j\neq 0 \hspace{1zw}(\mbox{$\pm v$\ または 1})$$

であるので、上の $j$-リーマン不変量に $v$ を追加すると、 それが相空間 $\Omega$ 上で $U$ と 1 対 1 に対応する。

このパラメータに関しては、

$$\frac{d}{d s}\lambda_1(U) =\nabla_U\lambda_1(U)U'(s) =\nabla... ...mbda_1(U)r_1(U(s))>0, \hspace{1zw} \frac{d}{d s}\lambda_3(U)<0$$

なので、1-膨張波曲線 $R_1(U_0)$ は $s>0$ で得られ、よって、

$$\left\{\begin{array}{l} Pv^\gamma=P_0v_0^\gamma,\\ [.5zh] ... ...e{1zw}(v\geq v_0,\hspace{1zw}, P\leq P_0,\hspace{1zw}u\geq u_0)$$

またはパラメータ表示により、

$$\left\{\begin{array}{l} v=v_0e^s,\\ \displaystyle u=u_0-... ...] P=P_0e^{-\gamma s} \end{array}\right. \hspace{1zw}(s\geq 0)$$ (3.43)

と表され、1-膨張波曲線 $R_3(U_0)$ は、

$$\left\{\begin{array}{l} Pv^\gamma=P_0v_0^\gamma,\\ [.5zh] ... ...e{1zw}(v\leq v_0,\hspace{1zw}, P\geq P_0,\hspace{1zw}u\geq u_0)$$

またはパラメータ表示により、

$$\left\{\begin{array}{l} v=v_0e^s,\\ [.5zh] \displaystyle ... ...] P=P_0e^{-\gamma s} \end{array}\right. \hspace{1zw}(s\leq 0)$$ (3.44)

と表される。

この $R_1(U_0)$ に対しては $s=\delta$、 $R_3(U_0)$ に対しては $s=-\delta$ とすれば、いずれの場合も $\delta\geq 0$ で、

$$\frac{d U}{d \delta}=r_j(U)$$

を満たす。 また、膨張波解を $(t,x)$ で表わすために、 (3.24) ($s=\delta$) を $\lambda_1(U)=x/t$ に代入すれば、

$$\lambda_1(U) = -\frac{C}{v} = -\frac{C_0e^{-\theta\delta}}{... ...^\delta} = -\frac{C_0}{v_0}e^{-(1+\theta)\delta} = \frac{x}{t}$$

より、

$$e^{-\delta}=\left(-\frac{v_0}{C_0}\,\frac{x}{t}\right)^{1/(1+\theta)}$$

となる。これを (3.24) ($s=\delta$) に代入すれば 1-膨張波が $(t,x)$ の式で表される。 この場合は、オイラー座標の場合とは異なり、$u$ は $x/t$ の一次式とはならない。

3-膨張波の方も、 (3.25) ($s=-\delta$) を $\lambda_3(U)=x/t$ に代入すれば、

$$\lambda_3(U) = \frac{C}{v} = \frac{C_0e^{\theta\delta}}{v_0e^{-\delta}} = \frac{C_0}{v_0}e^{(1+\theta)\delta} = \frac{x}{t}$$

より、

$$e^{\delta}=\left(\frac{v_0}{C_0}\,\frac{x}{t}\right)^{1/(1+\theta)}$$

となり、これを (3.25) ($s=-\delta$) に代入すれば 3-膨張波が $(t,x)$ の式で表される。