1 はじめに

関数 $f(x)$ の定積分は、通常は原始関数 $F(x)$ ($F'(x)=f(x)$) を用いて

$$\int_a^b f(x)dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)$$ (1)

により計算する。 一方で $f(x)$ の定積分は、以下のように原始関数とは無関係に定義される。

定義 1

$f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ 上で定義された有界な関数、 $\Delta_n$ は区間 $[a,b]$ の $n$ 分割

$$\Delta_n:\ a=x_0<x_1<\cdots x_n = b$$

で、$\bar{x}_k$ ($1\leq k\leq n$) を各小区間内の標本点 ( $x_{k-1}\leq \bar{x}_k\leq x_k$) とするとき、 この分割と標本点と $f$ に対する「リーマン和」$S(\Delta_n)$ を

$$S(\Delta_n) = \sum_{k=1}^n f(\bar{x}_k)(x_k-x_{k-1})$$ (2)

とし、分割の最大幅を

$$\delta(\Delta_n) = \max_{1\leq k\leq n}(x_k-x_{k-1})$$ (3)

とする。

$$n\rightarrow\infty \mbox{ かつ }\delta(\Delta_n)\rightarrow 0$$ (4)

のときに、$S(\Delta_n)$ が有限な極限値 $S$ を常に持ち、 その $S$ が、$\Delta_n$ の分点の取り方と標本点 $\{\bar{x}_k\}_k$ の 取り方によらず一定な値であるとき、関数 $f(x)$ を「リーマン積分可能」、 $S$ を「リーマン積分」と呼び

$$S=\int_a^b f(x) dx$$

と書く。

そして、連続関数に対しては次が成り立つことが知られている。

命題 2

$f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数ならば、 $f(x)$ のリーマン積分可能。すなわち、 連続関数 $f(x)$ のリーマン和 (2) は、 (4) の条件を満たせば、常にその定積分に収束する。

つまり、原理的には、(1) でなく、 リーマン和 (2) の極限でも 積分が計算できることになるが、 それは明らかに原始関数による (1) よりも煩雑なため、 そのような計算を目にすることは少ない。

ただし、リーマン和 (2) の極限による積分計算は、 「区分求積法」と呼ばれ、高校でもごく簡単な関数に対して 区分求積法で積分を求めたり、逆に区分求積法の形の数列の和の極限を 積分に直してそれを (1) で求めたりする問題を 見ることはあるが、色々な関数の定積分をリーマン和の極限で求める計算は あまり見ることはないだろう。

これを本稿で紹介する。