3 サインとコサインの定積分

次は、三角関数のうち、サインとコサインの定積分

$$I_{sin}(a,b) = \int_a^b \sin x dx, \hspace{1zw}I_{cos}(a,b) = \int_a^b \cos x dx \hspace{1zw}(a<b)$$ (20)

を考える。なお、$I_{cos}(a,b)$ は平行移動すると、

$$I_{cos}(a,b) = \int_{a+\pi/2}^{b+\pi/2} \cos\left(x-\frac{\pi}... ...i/2}^{b+\pi/2} \sin x dx = I_{sin}\left(a+\frac{\pi}{2},b+\frac{\pi}{2}\right)$$ (21)

と $I_{sin}$ で表されるので、$I_{sin}$ のみを考えればよい。

また、$\sin x$ は奇関数だから、前節の議論と同様にして、$a=0,b>0$ の 場合のみ考えればよい。

$x_k$, $\bar{x}_k$ は、前節同様、分割は等間隔で標本点は右端 (10) に取る。このとき、リーマン和は

$$S(\Delta_n) = \sum_{k=1}^n \sin(\bar{x}_k)(x_k-x_{k-1}) =\frac{b}{n}\sum_{k=1}^n\sin\frac{k}{n}\,b$$ (22)

となるが、この和を求めるために、次の積和の公式を用いる。

$$\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \sin(\alpha+k\theta)\sin... ...ft(\alpha+\left(k-\frac{1}{2}\right)\theta\right) \right\} \end{array}\right.$$ (23)

これにより、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\frac{b}{2n\sin(b/(2n))}\sum_{k=1}^n\left\{ \cos\frac{b}{n}\left(k-\frac{1}{2}\right) - \cos\frac{b}{n}\left(k+\frac{1}{2}\right)\right\}$$
		$=$	$$\frac{b}{2n\sin(b/(2n))}\left\{ \cos\frac{b}{2n} - \cos\frac{b}{n}\left(n+\frac{1}{2}\right)\right\}$$
		$=$	$$\frac{b/(2n)}{\sin(b/(2n))}\left\{ \cos\frac{b}{2n} - \cos b\left(1+\frac{1}{2n}\right)\right\}$$

となる。ここで、良く知られているように

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$ (24)

なので、 $n\rightarrow\infty$ のときに $S(\Delta_n)$ は $\cos 0 -\cos b=1-\cos b$ に収束し、これが $I_{sin}(0,b)$ になるから

$$I_{sin}(0,b)=\int_0^b \sin x dx=1-\cos b$$ (25)

となり、前節同様の議論により、$I_{sin}(a,b)$ は

$$I_{sin}(a,b)=\int_a^b \sin x dx=\cos a - \cos b$$ (26)

となる。 $I_{cos}(a,b)$ は、(21) により、

	$$I_{cos}(a,b)$$	$=$	$$\int_a^b \cos x dx = I_{sin}\left(a+\frac{\pi}{2},b+\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(a+\frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(b+\frac{\pi}{2}\right)$$
		$=$	$$\sin b - \sin a$$	(27)

となることがわかる。 なお、$\cos x$ の定積分も上と同様に積和の公式 (23) を用いて、 リーマン和が収束することを直接示すこともできる。