11 対数関数の積分

ここから先の数節では、いくつか逆関数の定積分を考える。 まずは $\log y$ の定積分

$$I_{log}(a,b) = \int_a^b\log_e y dy\hspace{1zw}(0<a<b)$$ (74)

を考える。

なお、底は $e$ のもののみ考えるが、一般の底の場合は底の変換公式により、

$$\int_a^b \log_A y dy = \frac{1}{\log_e A}\,I_{log}(a,b)$$

となるので、底が $e$ のもののみ考えればよい。 リーマン和は

$$S(\Delta_n) = \sum_{k=1}^n (\log_e\bar{y}_k)(y_k-y_{k-1})$$ (75)

だが、標本点 $\bar{y}_k$ を左端 $\bar{y}=y_{k-1}$ に取り、 $\log_e y_k=x_k$ とすると、

$$\log_e a=x_0<x_1<\cdots<x_n=\log_e b$$

で、$S(\Delta_n)$ を変形すると、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{k=1}^n (\log_e\bar{y}_k)(y_k-y_{k-1}) \ =\ \sum_{k=1}^n x_{k-1} (e^{x_k} - e^{x_{k-1}})$$
		$=$	$$x_0e^{x_1}+x_1e^{x_2}+\cdots+x_{n-1}e^{x_n} -(x_0e^{x_0}+x_1e^{x_1}+\cdots+x_{n-1}e^{x_{n-1}})$$
		$=$	$$x_0e^{x_1}+\cdots+x_{n-1}e^{x_n} -(x_1e^{x_1}+\cdots+x_ne^{x_n}) -x_0e^{x_0}+x_ne^{x_n}$$
		$=$	$$-\sum_{k=1}^n e^{x_k}(x_k-x_{k-1}+b\log_e b-a\log_e a$$

となるので、$x_k$ を等分

$$x_k = \log_e a + \frac{k}{n}\left(\log_e b - \log_e a\right) = c + d\,\frac{k}{n}$$

と取れば、

$$\lim_{n\rightarrow\infty }S(\Delta_n) = -\int_{\log_e a}^{\log_e b} e^x dx + b\log_e b - a\log_e a$$

となり、4 節より、この極限は

$$\lim_{n\rightarrow\infty }S(\Delta_n) = -b+a + b\log_e b - a\log_e a$$

となることがわかる。 $\delta(\Delta_n)$ は、

$$y_k = e^{x_k} = e^{c+dk/n}$$

で、$e^{c+dx}$ は下に凸な増加関数なので、$k=n$ で最大値を取り、

$$\delta(\Delta_n) = e^{c+d}-e^{c+d(n-1)/n} \rightarrow 0$$

となって収束条件も満たされる。よって、

$$I_{log}(a,b) = \int_a^b \log_e x dx = b\log_e b - a\log_e a - b + a$$ (76)

となる。