最後に、
が奇数で、
が偶数の場合を考える。
,
とすると、
より
となる。
(5) より、
![$\displaystyle
I_{2\nu-1,2\mu} = \frac{1}{(2\mu-1)!}
\int_0^\infty\frac{(\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu-1)}}{x}\,dx
\hspace{1zw}(\nu-1\geq\mu\geq 1)$](img130.png)
(
30)
であり、補題 2, 3 より、
となるが、
で
なので、
より (31) で
とすると、
![$\displaystyle
0
=
\frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{2\nu-2}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j-1}
\...
...in{array}{c}
\!\!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{2\mu-1}$](img135.png)
(
32)
となり、(31) の
の係数の和が 0 となる。
よって補題 1 と (30),
(31) より
![$\displaystyle
I_{2\nu-1,2\mu}
=
\frac{(-1)^{\mu-1}}{(2\mu-1)!\,2^{2\nu-2}}...
...c}
\!\!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{2\mu-1}\log(2j-1)$](img137.png)
(
33)
となる (
は
により消える)。
元の
,
で表すと、(33) は、
となる。
以上の 4 つの式 (19),
(23),
(29),
(34) には共通部分もあるので、
以下のようにまとめることもできる。
![$\displaystyle
I_{n,m} = \displaystyle \frac{(-1)^{\mu}}{(m-1)!\,2^{n-1}}
\sum...
... \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(\alpha_{n,j})^{m-1}\beta_{n,m,j}$](img140.png)
(
35)
ここで、
,
は
,
(
はガウス記号)、
,
は以下の通り。
竹野茂治@新潟工科大学
2020-12-17