6.4 n が奇数、m が偶数の場合

最後に、

が奇数で、

が偶数の場合を考える。 $n=2\nu-1$ , $m=2\mu$ とすると、 $2\nu-1\geq 2\mu$ より $\nu-1\geq\mu\geq 1$ となる。

(5) より、

$\displaystyle I_{2\nu-1,2\mu} = \frac{1}{(2\mu-1)!} \int_0^\infty\frac{(\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu-1)}}{x}\,dx \hspace{1zw}(\nu-1\geq\mu\geq 1)$ (30)

であり、補題 2, 3 より、

$\displaystyle {(\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu-1)} \ =\ \left\{\frac{1}{2^{2\nu-2}}\su... ...!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)\sin(2j-1)x\right\}^{(2\mu-1)}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{2\nu-2}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j-1} \left(\be... ...} \!\!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{2\mu-1}\cos(2j-1)x$	(31)

となるが、 $x\rightarrow +0$ で

$\displaystyle (\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu-1)} = O(x^{2\nu-2\mu})$

なので、 $\nu-1\geq\mu$ より (31) で $x=0$

とすると、

$\displaystyle 0 = \frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{2\nu-2}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j-1} \... ...in{array}{c} \!\!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{2\mu-1}$ (32)

となり、(31) の $\cos(2j-1)x$ の係数の和が 0 となる。よって補題 1 と (30), (31) より

$\displaystyle I_{2\nu-1,2\mu} = \frac{(-1)^{\mu-1}}{(2\mu-1)!\,2^{2\nu-2}}... ...c} \!\!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{2\mu-1}\log(2j-1)$ (33)

となる (

は $\log 1 = 0$ により消える)。元の $n$

で表すと、(33) は、

$\displaystyle I_{n,m}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{(-1)^{\mu-1}}{(m-1)!\,2^{n-1}} \sum_{j=2}^\nu(-1)^{j} \left... ...{array}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{m-1}\log(2j-1)$	(34)
		$\displaystyle (\mu=m/2,\ \nu=(n+1)/2)$

となる。

以上の 4 つの式 (19), (23), (29), (34) には共通部分もあるので、以下のようにまとめることもできる。

$\displaystyle I_{n,m} = \displaystyle \frac{(-1)^{\mu}}{(m-1)!\,2^{n-1}} \sum... ... \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(\alpha_{n,j})^{m-1}\beta_{n,m,j}$ (35)

ここで、 $\mu$ , $\nu$ は $\mu = [(m+1)/2]$ , $\nu=[(n+1)/2]$ ( $[\ ]$ はガウス記号)、 $\alpha_{n,j}$ , $\beta_{n,m,j}$ は以下の通り。

$\displaystyle \begin{array}{ll} \displaystyle \alpha_{n,j} &= \left\{\begin{ar... ...\ -\log(2j-1) & (\mbox{$n$\ が奇数, $m$\ が偶数のとき}) \end{array}\right.\end{array}$

竹野茂治＠新潟工科大学
2020-12-17