6.1 n,m がともに奇数の場合

まずは、$n$,$m$ がともに奇数の場合を考える。 $n=2\nu-1$, $m=2\mu-1$ とすると、(5) より、

  $$I_{2\nu-1,2\mu-1} = \frac{1}{(2\mu-2)!} \int_0^\infty\frac{(\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu-2)}}{x}\,dx \hspace{1zw}(\nu\geq\mu\geq 1)$$ (16)

となる。なお、これは $\mu=1$ に対しても成り立つことに注意する。 補題 2, 3 より、

$${(\sin^{2\nu-1}x)^{(2\mu-2)} \ =\ \left\{\frac{1}{2^{2\nu-2}}\su... ...!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)\sin(2j-1)x\right\}^{(2\mu-2)}}$$

$$= \frac{(-1)^{\mu-1}}{2^{2\nu-2}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j-1} \left(\be... ...} \!\!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{2\mu-2}\sin(2j-1)x$$ (17)

となる。よって、(9), (16) より、

  $$I_{2\nu-1,2\mu-1} = \frac{(-1)^{\mu}}{(2\mu-2)!\,2^{2\nu-2}} ... ...!\!2\nu-1\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{2\mu-2}\,\frac{\pi}{2}$$ (18)

が得られる。なお、これは $\nu\geq\mu\geq 1$ に対して成り立つので、 $m=1$ で $n$ が奇数の場合もこれに含まれる。 元の $n$, $m$ で表すと (18) は、

$$I_{n,m} = \frac{(-1)^{\mu}}{(m-1)!\,2^{n-1}} \sum_{j=1}^\nu(-1)^{j} \left(\... ...y}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j-1)^{m-1}\,\frac{\pi}{2}$$ (19)

$$(\mu=(m+1)/2,\ \nu=(n+1)/2)$$

となる。