6.2 n,m がともに偶数の場合

次に、$n$,$m$ がともに偶数の場合を考える。 $n=2\nu$, $m=2\mu$ とすると、(5) より、

  $$I_{2\nu,2\mu} = \frac{1}{(2\mu-1)!} \int_0^\infty\frac{(\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-1)}}{x}\,dx \hspace{1zw}(\nu\geq\mu\geq 1)$$ (20)

となる。補題 2, 3 より、

$${(\sin^{2\nu}x)^{(2\mu-1)} \ =\ \left\{\frac{1}{2^{2\nu-1}}\sum_... ...} \!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)\cos 2jx\right\}^{(2\mu-1)}}$$

$$= \frac{(-1)^{\mu}}{2^{2\nu-1}}\sum_{j=1}^\nu(-1)^{j} \left(\begin{array}{c} \!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-1}\sin 2jx$$ (21)

となる。よって、(9), (20) より、

  $$I_{2\nu,2\mu} = \frac{(-1)^\mu}{(2\mu-1)!\,2^{2\nu-1}} \sum_{... ...} \!\!2\nu\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{2\mu-1}\,\frac{\pi}{2}$$ (22)

が得られる。 元の $n$, $m$ で表すと、

$$I_{n,m} = \frac{(-1)^{\mu}}{(m-1)!\,2^{n-1}} \sum_{j=1}^\nu(-1)^{j} \left(\... ...ray}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!\nu-j\!\! \end{array}\right)(2j)^{m-1}\,\frac{\pi}{2}$$ (23)

$$(\mu=m/2,\ \nu=n/2)$$

となる。