5 外積の公式の場合

最後に、(4) について考える。 この場合は、事情は (2), (3) とはやや異なる。

24 ページの (1.1) より、

$$(\mbox{\boldmath$K$}\times\mbox{\boldmath$B$})'=\mbox{\boldm... ...x{\boldmath$B$}' =\mbox{\boldmath$K$}\times\mbox{\boldmath$A$}$$

であるから、(4) の左辺は、

$$\int\mbox{\boldmath$K$}\times\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = \mbox{\boldmath$K$}\times\mbox{\boldmath$B$}+\mbox{\boldmath$C$}_1$$

となる。一方、(4) の右辺は

$$\mbox{\boldmath$K$}\times\int\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = \mb... ...x{\boldmath$B$}+\mbox{\boldmath$K$}\times\mbox{\boldmath$C$}_2$$

となるので、(4) が成り立つためには、

$$\mbox{\boldmath$C$}_1=\mbox{\boldmath$K$}\times\mbox{\boldmath$C$}_2$$ (10)

である必要がある。

これも、任意の $\mbox{\boldmath$C$}_2$ に対して、 (10) を満たす定ベクトル $\mbox{\boldmath$C$}_1$ は 常に取ることができるが、 任意の $\mbox{\boldmath$C$}_1$ に対して、 (10) を満たす定ベクトル $\mbox{\boldmath$C$}_2$ は常には取ることができない。

(8), (9) の場合は、 $k$, $\mbox{\boldmath$K$}$ が、それぞれ 0, $\mbox{\boldmath$0$}$ でなければよかったが、 しかし、この場合はそうではない。 $\mbox{\boldmath$K$}\neq \mbox{\boldmath$0$}$ の場合、(10) が成り立てば $\mbox{\boldmath$C$}_1$ は $\mbox{\boldmath$K$}$, $\mbox{\boldmath$C$}_1$ に垂直でなくてはならないから、 もし、 $\mbox{\boldmath$C$}_1$ と $\mbox{\boldmath$K$}$ が垂直でない場合には、 どのような $\mbox{\boldmath$C$}_2$ を取っても (10) を満たすように することはできない。

この場合も、(7) であれば、 $\mbox{\boldmath$C$}$ を

$$\mbox{\boldmath$C$}=\mbox{\boldmath$C$}_1-\mbox{\boldmath$K$}\times\mbox{\boldmath$C$}_2$$

とすればいいだけなので、正しく成立する。