4 内積の公式の場合

次に、(3) について考える。この場合も事情は (2) とほぼ同じである。

24 ページの (1.1) より、

$$(\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$B$})'=\mbox{\boldma... ...ox{\boldmath$B$}' =\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$A$}$$

であるから、(3) の左辺は、

$$\int\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = \mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$B$}+C_1$$

となる。一方、(3) の右辺は

$$\mbox{\boldmath$K$}\cdot\int\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = \mbo... ...ox{\boldmath$B$}+\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$C$}_2$$

となるので、(3) が成り立つためには、

$$C_1=\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$C$}_2$$ (9)

である必要がある。

任意の $\mbox{\boldmath$C$}_2$ に対して、 (9) を満たす定数 $C_1$ は 常に取ることができるが、 任意の $C_1$ に対して、 (9) を満たす定ベクトル $\mbox{\boldmath$C$}_2$ は、 $\mbox{\boldmath$K$}\neq \mbox{\boldmath$0$}$ でないと取ることができない。 もし、 $\mbox{\boldmath$K$}\neq \mbox{\boldmath$0$}$ ならば、例えば

$$\mbox{\boldmath$C$}_2=\frac{C_1}{\vert\mbox{\boldmath$K$}\vert^2}\mbox{\boldmath$K$}$$

とすれば、

$$\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$C$}_2 =\frac{C_1}{\v... ...th$K$}\vert^2}\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$K$} =C_1$$

となり、確かに (9) を満たす。

$\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$0$}$ の場合は、 (3) の左辺は

$$\int\mbox{\boldmath$0$}\cdot\mbox{\boldmath$A$}dt = \int 0 dt = C_1$$

(3) の右辺は

$$\mbox{\boldmath$0$}\cdot\int\mbox{\boldmath$A$}dt = 0$$

なので、 $\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$0$}$ の場合は両辺を合わせるために 定数を入れて (6) としなければならないことがわかる。

(6) であれば、$C$ を

$$C=C_1-\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$C$}_2$$

とすればいいだけなので、正しく成立する。