3 定数倍の公式の場合

まず、(2) について考える。

24 ページの (1.1) より、

$$(k\mbox{\boldmath$B$})'=k\mbox{\boldmath$B$}'=k\mbox{\boldmath$A$}$$

であるから、(2) の左辺は、

$$\int k\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = k\mbox{\boldmath$B$}+\mbox{\boldmath$C$}_1$$

となる。一方、(2) の右辺は

$$k\int\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = k(\mbox{\boldmath$B$}+\mbox{\boldmath$C$}_2) = k\mbox{\boldmath$B$}+k\mbox{\boldmath$C$}_2$$

となるので、(2) が成り立つためには、

$$\mbox{\boldmath$C$}_1=k\mbox{\boldmath$C$}_2$$ (8)

である必要がある。

任意の $\mbox{\boldmath$C$}_2$ に対して、 (8) を満たす定ベクトル $\mbox{\boldmath$C$}_1$ は 常に取ることができるが、 任意の $\mbox{\boldmath$C$}_1$ に対して、 (8) を満たす定ベクトル $\mbox{\boldmath$C$}_2$ は、$k\neq 0$ でないと取ることができない。 よって $k=0$ の場合は (5) のように定ベクトルを入れないと 合わなくなる。

ちなみに $k=0$ の場合は、(2) の左辺は

$$\int 0\mbox{\boldmath$A$}dt = \int\mbox{\boldmath$0$}dt = \mbox{\boldmath$C$}_1$$

(2) の右辺は

$$0\int\mbox{\boldmath$A$}dt = 0$$

なので、ここからもその必要性はわかるだろう。

(5) であれば、 $\mbox{\boldmath$C$}$ を

$$\mbox{\boldmath$C$}=\mbox{\boldmath$C$}_1-k\mbox{\boldmath$C$}_2$$

とすればいいだけなので、常に正しく成立する。