2 不定積分の公式

27 ページ下に、以下のような不定積分の公式が書かれている。 $k$, $\mbox{\boldmath$K$}$ がそれぞれ定数、定ベクトルであるとき、

$$\int k\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = k\int\mbox{\boldmath$A$}(t)dt$$ (2)

$$\int \mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = \mbox{\boldmath$K$}\cdot\int\mbox{\boldmath$A$}(t)dt$$ (3)

$$\int \mbox{\boldmath$K$}\times\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = \mbox{\boldmath$K$}\times\int\mbox{\boldmath$A$}(t)dt$$ (4)

が成り立つ、と書かれている。しかし、(1) の定義からすると、 これらは厳密に言えば以下のように多少修正が必要である (なお、和の公式は問題はない)。

$$\int k\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = k\int\mbox{\boldmath$A$}(t)dt+\mbox{\boldmath$C$}$$ (5)

$$\int \mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = \mbox{\boldmath$K$}\cdot\int\mbox{\boldmath$A$}(t)dt+C$$ (6)

$$\int \mbox{\boldmath$K$}\times\mbox{\boldmath$A$}(t)dt = \mbox{\boldmath$K$}\times\int\mbox{\boldmath$A$}(t)dt+\mbox{\boldmath$C$}$$ (7)

なぜこのような修正が必要なのか、以下に説明する。 以下、 $\mbox{\boldmath$B$}(t)$ を $\mbox{\boldmath$B$}'(t)=\mbox{\boldmath$A$}(t)$ (すなわち (1)) となるものであるとする。