A. 曲率の回転不変性
この節では補遺として、(10) または (19) によって
与えられる
の回転不変性を示す。
もちろん 3 節や 4 節の議論から
それが回転不変性を持つことは明らかなのであるが、
それを式の上で (10), (19) に対して
直接示してみる。
まず、
で表される曲線を回転して得られる曲線を考える。
点
を原点の周りに
回転した点を
とすると、
それは
![\begin{displaymath}
\left\{\begin{array}{ll}
\bar{x} &=x\cos\theta-y\sin\theta,\\
\bar{y} &=x\sin\theta+y\cos\theta
\end{array}\right.\end{displaymath}](img102.gif) |
(21) |
となるので、これを
,
について解いて、
![\begin{displaymath}
\left\{\begin{array}{ll}
x &=\bar{x}\cos\theta+\bar{y}\sin...
...
y &=-\bar{x}\sin\theta+\bar{y}\cos\theta
\end{array}\right.\end{displaymath}](img103.gif) |
(22) |
とし、これを
代入して得られる
,
の式を
について解いて
としたものが、
を
回転した曲線の式となる (
座標軸上のグラフ)。
の回転不変性とは、
対応する点に対する
が
でも
でも同じ値になること、すなわち、
![\begin{displaymath}
R^2
=\frac{\{1+(f'(x))^2\}^{3/2}}{(f''(x))^2}
=\frac{\{1+(g'(\bar{x}))^2\}^{3/2}}{(g''(\bar{x}))^2}\end{displaymath}](img108.gif) |
(23) |
が成り立つことであり、まずこれを示す (もちろん
は
での微分を意味する)。
上で説明したように、(22) を
に代入した式
を
について解いたものが
なので、
![\begin{displaymath}
-\bar{x}\sin\theta+g(\bar{x})\cos\theta
=f(\bar{x}\cos\theta+g(\bar{x})\sin\theta)\end{displaymath}](img111.gif) |
(24) |
となる。この式 (24) を
で微分すると、
![\begin{displaymath}
-\sin\theta+g'(\bar{x})\cos\theta
=f'(x)(\cos\theta+g'(\bar{x})\sin\theta)\end{displaymath}](img112.gif) |
(25) |
となるから、これにより
![\begin{displaymath}
f'(x)=\frac{-\sin\theta+g'(\bar{x})\cos\theta}%
{\cos\theta+g'(\bar{x})\sin\theta}\end{displaymath}](img113.gif) |
(26) |
が得られる。(25) を再び
で微分すると、
となるので、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{f''(x)(\cos\theta+g'(\bar{x})\sin\theta)^2}
\\ &=&
g...
...a}
\\ &=&
\frac{g''(\bar{x})}{\cos\theta+g'(\bar{x})\sin\theta}\end{eqnarray*}](img115.gif)
より、
![\begin{displaymath}
f''(x)=\frac{g''(\bar{x})}{(\cos\theta+g'(\bar{x})\sin\theta)^3}\end{displaymath}](img116.gif) |
(27) |
となる。また、(26) より、
となるので、(27), (28) より
確かに (23) が成り立つことがわかる。
なお、2 節で
の値が回転不変ではないと書いたが、
それは (27) からわかる。
次に (19) の回転不変性であるが、これは
![\begin{displaymath}
R
=\frac{\{(\dot{x}(a))^2+(\dot{y}(a))^2\}^{3/2}}%
{\vert...
...x}}(a)\ddot{\bar{y}}(a)-\dot{\bar{y}}(a)\ddot{\bar{x}}(a)\vert}\end{displaymath}](img122.gif) |
(29) |
ということである。
(22) より、
であるから、
![\begin{eqnarray*}\lefteqn{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}
\\ &=&
(\dot{\bar{x...
...bar{y}}\cos\theta)^2
\\ &=&
(\dot{\bar{x}})^2+(\dot{\bar{y}})^2\end{eqnarray*}](img124.gif)
となるから、(29) が成り立つことはすぐにわかる。
竹野茂治@新潟工科大学
2009年3月3日