6 積み上げ型の幾何学的な証明

本節では、もう一つ別な形の幾何学的な証明を紹介する。 これは、まず $\mbox{\boldmath$A$}=\mbox{\boldmath$B$}$ の場合の (1) を示し、 その次にそれを用いて一般の場合を示す、という方法である。

証明 5

Step 1.

証明 3 の Step 1. と同じ議論により $\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$}=\mbox{\boldmath$0$}$ の場合は成り立つので、 $\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$}\neq\mbox{\boldmath$0$}$ の場合のみを考える。

Step 2.

$\mbox{\boldmath$A$}=\mbox{\boldmath$B$}$ の場合の (1)、すなわち、

$$\mbox{\boldmath$B$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\b... ...ldmath$B$}-\vert\mbox{\boldmath$B$}\vert^2\mbox{\boldmath$C$}$$ (9)

を示す。

$\mbox{\boldmath$B$}$ と $\mbox{\boldmath$C$}$ は $\mbox{\boldmath$0$}$ ではなく平行でもないから、 $\mbox{\boldmath$C$}$ を $\mbox{\boldmath$B$}$ に平行な方向と $\mbox{\boldmath$B$}$ に垂直な方向の 2 つのベクトルの和に分けて

$$\mbox{\boldmath$C$}=a\mbox{\boldmath$B$}+\mbox{\boldmath$F$},\hspace{1zw}\mbox{\boldmath$B$}\perp\mbox{\boldmath$F$}$$ (10)

とすると、

$$\mbox{\boldmath$B$}\cdot\mbox{\boldmath$C$} =\mbox{\boldma... ...h$B$}+\mbox{\boldmath$F$}) =a\vert\mbox{\boldmath$B$}\vert^2$$

より、

$$a=\frac{\mbox{\boldmath$B$}\cdot\mbox{\boldmath$C$}}{\vert\mbox{\boldmath$B$}\vert^2}$$ (11)

となる。また、

$$\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$} =\mbox{\boldm... ...\boldmath$F$}) =\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$F$}$$

となるので、これを $\mbox{\boldmath$G$}$ とすると、 $\mbox{\boldmath$B$}$, $\mbox{\boldmath$F$}$, $\mbox{\boldmath$G$}$ は右手系の互いに直交するベクトルで、 よって、

$$\mbox{\boldmath$B$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\b... ...x{\boldmath$G$} =-k_3\mbox{\boldmath$F$} \hspace{1zw}(k_3>0)$$ (12)

と書けることになる。この両辺の大きさを考えると、

$$\begin{eqnarray*}\vert\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$G$}\vert &=& \v... ...\mbox{\boldmath$F$}\vert &=& k_3\vert\mbox{\boldmath$F$}\vert \end{eqnarray*}$$

なので $k_3=\vert\mbox{\boldmath$B$}\vert^2$ となり、よって (12) より、

$$\mbox{\boldmath$B$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\b... ...th$F$}) =-\vert\mbox{\boldmath$B$}\vert^2\mbox{\boldmath$F$}$$ (13)

が言える。これに $\mbox{\boldmath$F$}=\mbox{\boldmath$C$}-a\mbox{\boldmath$B$}$ を代入すれば、

$$-\vert\mbox{\boldmath$B$}\vert^2\mbox{\boldmath$F$} = -\v... ...box{\boldmath$B$}\cdot\mbox{\boldmath$C$})\mbox{\boldmath$B$}$$

となって、よって (13) より (9) が言えたことになる。

さらに、(9) の $\mbox{\boldmath$B$}$ と $\mbox{\boldmath$C$}$ を交換すれば、

$$\mbox{\boldmath$C$}\times(\mbox{\boldmath$C$}\times\mbox{\b... ...ldmath$C$}-\vert\mbox{\boldmath$C$}\vert^2\mbox{\boldmath$B$}$$ (14)

が成り立つこともわかる。

Step 3.

$\mbox{\boldmath$B$}$ と $\mbox{\boldmath$C$}$ が平行でない場合は、 $\mbox{\boldmath$B$}$, $\mbox{\boldmath$C$}$, $\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$}$ が一次独立となるので、 任意の 3 次元のベクトルはこの 3 つのベクトルのスカラー倍の和で表現できる。 よって、

$$\mbox{\boldmath$A$}=p\mbox{\boldmath$B$}+q\mbox{\boldmath$C$}+r(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$})$$

と書くことができるので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mbox{\boldmath$A$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mb... ...oldmath$C$}\times(\mbox{\boldmath$C$}\times\mbox{\boldmath$B$}) \end{eqnarray*}$$

となり、 (9), (14) を用いると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mbox{\boldmath$A$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mb... ...box{\boldmath$C$})\cdot\mbox{\boldmath$B$}\}\mbox{\boldmath$C$} \end{eqnarray*}$$

となるが、 $\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$}$ は $\mbox{\boldmath$B$}$, $\mbox{\boldmath$C$}$ に垂直なので、

$$\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$} = (p\mbox{\bold... ...x{\boldmath$B$}+q\mbox{\boldmath$C$})\cdot\mbox{\boldmath$C$}$$

となるので、結局

$$\mbox{\boldmath$A$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\b... ...\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$})\mbox{\boldmath$C$}$$

となることがわかる。

この証明 5 は、 4 節の幾何学的な証明 3 とは違って $k_2$ のようなものが出てこないので厳密な証明となっているが、 少し遠回りになっているので、証明 3 より (1) の意味は直観的にはわかりにくい。 しかし、成分計算による証明 1 よりはましで、 また軸をとりかえた成分による証明 2 には似たところはあるものの、 こちらの方が最後の形が見えやすいように思う。