4.9 ラグランジュ座標系の理想気体の場合

次はラグランジュ座標の方程式 (2.19) の場合を考える。 ランキン-ユゴニオ条件はこの場合、

$$\begin{array}{l} \tilde{s}[\tilde{v}]=[\tilde{u}],\\ \ti... ...frac{\tilde{u}^2}{2}+\frac{\tilde{P}\tilde{v}}{\gamma-1}\right)$$ (4.104)

となる。

2-接触不連続の場合、 $\tilde{s}=\lambda_2=0$ であるから、 (4.55) より

$$[\tilde{u}]=[\tilde{P}]=0$$

となる。これは、4.8 節の オイラー座標系の場合に対応している。

(4.55) から $\tilde{s}$ を消去すると、

$$-[\tilde{u}]^2 = [\tilde{P}][\tilde{v}]$$ (4.105)

$${} [\tilde{P}\tilde{u}][\tilde{v}] = -[\tilde{u}][\tilde{B}]$$ (4.106)

が得られるが、(4.57) の右辺は 4.8 節と同様に、

$$\begin{eqnarray*}-[\tilde{u}][\tilde{B}] &=& -[\tilde{u}]\frac{1}{2}[\tilde{u}... ...}][\tilde{v}] -\frac{1}{\gamma-1}[\tilde{u}][\tilde{P}\tilde{v}]\end{eqnarray*}$$

(4.57) の左辺も 4.8 節と同様にして

$$[\tilde{P}\tilde{u}][\tilde{v}] =\frac{\tilde{u}_0+\tilde{u}}... ...lde{v}] +\frac{\tilde{P}_0+\tilde{P}}{2}[\tilde{u}][\tilde{v}]$$

となるから、結局

$$\frac{\tilde{P}_0+\tilde{P}}{2}[\tilde{u}][\tilde{v}] =-\frac{1}{\gamma-1}[\tilde{u}][\tilde{P}\tilde{v}]$$

となる。$[\tilde{u}]=0$ だとすると、1,3-衝撃波では $\tilde{s}\neq\lambda_2=0$ であるから、 (4.55) より $[\tilde{v}]=[\tilde{P}]=0$ となってしまって $[\tilde{U}]=0$ となるので $[\tilde{u}]\neq 0$ であることがわかる。 よって、

$$\frac{\tilde{P}_0+\tilde{P}}{2}[\tilde{v}] =-\frac{1}{\gamma-1}[\tilde{P}\tilde{v}]$$

となる。よって、展開して整理すると、

$$\frac{\tilde{P}}{\tilde{P}_0} =\frac{\tilde{v}_0-\theta[\til... ...}_0-\theta\tilde{v}}% {(1+\theta)\tilde{v}-\theta\tilde{v}_0}$$

となるので、

$$\frac{\tilde{v}_0}{\tilde{v}} \left(=\frac{\tilde{\rho}}{\tilde{\rho}_0}\right) =\xi$$

とすると、

$$\frac{\tilde{P}}{\tilde{P}_0} =\frac{(1+\theta)\xi-\theta}{1... ...eft(\frac{\theta}{1+\theta}<\xi<\frac{1+\theta}{\theta}\right)$$

となり、これらも 4.8 節の結果に対応する。 また、(4.56) より、

$$\begin{eqnarray*}[\tilde{u}]^2 &=& -[\tilde{P}[\tilde{v}] = -\left(\frac{\ti... ...hspace{1zw}\left(\tilde{C}=\sqrt{\gamma\tilde{P}\tilde{v}}\right)\end{eqnarray*}$$

なので、

$$\tilde{u}=\tilde{u}_0\pm\tilde{C}_0f_0(\xi)$$

となる。よって、$\tilde{U}$ は

$$\tilde{v}=\frac{\tilde{v}_0}{\xi}, \hspace{1zw}\tilde{u}=\ti... ...{P}=\tilde{P}_0\frac{(1+\theta)\xi-\theta}{1+\theta-\theta\xi}$$

と書けることになる。これを $\tilde{V}_{\pm}(\xi)$ とすると、

$$\tilde{V}_{\pm}(1)=\left[\begin{array}{c}-\tilde{v}_0\\ \pm\tilde{C}_0\\ \gamma\tilde{P}_0\end{array}\right]$$

より、 $\tilde{V}_{+}'(1)=r_3(\tilde{U}_0)$, $\tilde{V}_{-}'(1)=-r_1(\tilde{U}_0)$ となり、

$$\left\{\begin{array}{lll} \tilde{U}_3(\delta)=\tilde{V}_{+... ...(\delta)), & \xi_1(0)=1, & \xi_1'(0)=-1<0 \end{array}\right.$$ (4.107)

によって、 $\tilde{U}=\tilde{V}_{-}(\xi)$ ($\xi\geq 0$) が 1-衝撃波曲線、 $\tilde{U}=\tilde{V}_{+}(\xi)$ ($\xi\leq 0$) が 3-衝撃波曲線 となることがわかる。

衝撃波速度 $\tilde{s}$ は、

$$\begin{eqnarray*}\tilde{s} &=& -\frac{\tilde{u}}{\tilde{v}} = \frac{\xi}{v_0... ... \pm\frac{\tilde{C}_0}{v_0}\sqrt{\frac{\xi}{1+\theta-\theta\xi}}\end{eqnarray*}$$

となる。(4.53), (3.23) より、

$$\begin{eqnarray*}\frac{d \tilde{s}}{d \delta}\Big\vert _{\delta=0} &=& \frac{d... ...& \frac{1}{2}(\nabla_{\tilde{U}}\lambda_j\cdot r_j)(\tilde{U}_0)\end{eqnarray*}$$

となる。

また、 $\tilde{V}_{\pm}$ の 2 階微分は

$$\tilde{V}_{\pm}''(1) =\left[\begin{array}{c}2\tilde{v}_0\\ \... ...theta)\tilde{C}_0\\ 2\theta\gamma\tilde{P}_0\end{array}\right]$$

となるが、

$$\begin{eqnarray*}\nabla_{\tilde{U}}r_1\cdot r_1 &=& \nabla_{\tilde{U}} \left[... ...\tilde{v}\\ \theta\tilde{C}\\ \gamma^2\tilde{P}\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}(\nabla_{\tilde{U}}r_1\cdot r_1)(\tilde{U}_0)+r_1(\tilde{U}_0) ... ...\ 2\theta\gamma\tilde{P}_0\end{array}\right] =\tilde{V}_{+}''(1)\end{eqnarray*}$$

となる。 よって、(4.58) にさらに

$$\xi_1''(0)=\xi_3''(0)=1$$ (4.108)

であれば、

$$\tilde{U}_j''(0)=(\nabla_{\tilde{U}}r_j\cdot r_j)(\tilde{U}_0) \hspace{1zw}(j=1,3)$$

となる。

この (4.58), (4.59) を満たす $\xi_j(\delta)$ としては、

$$\xi_1(\delta)=e^{-\delta},\hspace{1zw}\xi_3(\delta)=e^\delta$$

と取ればよい ($\delta\leq 0$)。 この場合も、 $0<\tilde{P}<\infty$ である必要があるので、$\xi_1$ の方は

$$1<\xi_1=e^{-\delta}<\frac{1+\theta}{\theta}$$

$\xi_3$ の方は

$$1>\xi_1=e^\delta>\frac{\theta}{1+\theta}$$

である必要がある。