4.10 バロトロピックのオイラー座標系の場合

次はバロトロピックオイラー座標系の場合の方程式 (2.10), (2.15) ($P=P(\rho)$, $P'>0$) を考える。 この場合は、ランキン-ユゴニオ条件は

$$\begin{array}{l} s[\rho]=[\rho u],\\ s[\rho u]=[\rho u^2+P(\rho)] \end{array}$$

であるから、$s$ を消去すると

$$[\rho u]^2=[\rho][\rho u^2+P]$$

となり、

$$[\rho u]^2-[\rho][\rho u^2]=\rho_0\rho[u]^2$$

であるから、

$$[u] =\pm\sqrt{\frac{[\rho][P]}{\rho_0\rho}} =\pm\sqrt{\frac{(\rho-\rho_0)(P(\rho)-P(\rho_0))}{\rho_0\rho}}$$

よって、

$$u=u_0\pm(\rho-\rho_0)f_1(\rho;\rho_0) \hspace{1zw}\left(f_1(... ...ho_0\rho}}\sqrt{\frac{P(\rho)-P(\rho_0)}{\rho-\rho_0}} \right)$$

となる。 $\rho=\rho_0$ でのテイラー展開を利用すると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{f_1(\rho;\rho_0) = \frac{1}{\sqrt{\rho_0}}\rho^{-1/2... ...)\right\} \\ && (P'_0=P'(\rho_0),\hspace{1zw}P''_0=P''(\rho_0))\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$f_1\Big\vert _{\rho=\rho_0}=\frac{\sqrt{P'_0}}{\rho_0}, \hsp... ..._{\rho=\rho_0} =\frac{\rho_0P''_0-2P'_0}{4\rho_0^2\sqrt{P'_0}}$$

となる。なお、この微分の値は、 $P=A\rho^\gamma$, $1<\gamma<3$ の場合は、

$$\rho_0P''_0-2P'_0 =\gamma(\gamma-1)\frac{P_0}{\rho_0}-2\gamma\frac{P_0}{\rho_0} =-\gamma(3-\gamma)\frac{P_0}{\rho_0}$$

となるので負となる。

よって、

$$\begin{eqnarray*}u\Big\vert _{\rho=\rho_0} &=& u_0,\\ \frac{d u}{d \rho}\Bi... ...{\rho=\rho_0} =\pm\frac{\rho_0P''_0-2P'_0}{2\rho_0^2\sqrt{P'_0}}\end{eqnarray*}$$

となる。よって、

$$V_{\pm}(\rho) =\left[\begin{array}{c}\rho\\ u\end{array}\rig... ...c}\rho\\ u_0\pm(\rho-\rho_0)f_1(\rho;\rho_0)\end{array}\right]$$

とすると、

$$V_{\pm}'(\rho_0) =\left[\begin{array}{c}1\\ \pm\sqrt{P'_0}/\... ...left[\begin{array}{c}\pm\rho_0\\ \sqrt{P'_0}\end{array}\right]$$

となるので、

$$V_{+}'(\rho_0)=\frac{1}{\rho_0}r_2(U_0), \hspace{1zw} V_{-}'(\rho_0)=-\frac{1}{\rho_0}r_1(U_0)$$

であることがわかる。よって、

$$\left\{\begin{array}{lll} U_2(\delta)=V_{+}(\rho_2(\delta))... ...), & \rho_1(0)=\rho_0, & \rho_1'(0)=-\rho_0\end{array}\right.$$

によって $U_j(0)=U_0$, $U_j'(0)=r_j(U_0)$ となる。

さらに、

$$V_{\pm}''(\rho_0)=\left[\begin{array}{c}0\\ \pm(\rho_0P''_0-2P'_0)/(2\rho_0^2\sqrt{P'_0})\end{array}\right]$$

であり、

$$\begin{eqnarray*}\nabla_Ur_1\cdot r_1 &=& \nabla_U\left[\begin{array}{c}-\rho\... ...ft[\begin{array}{c}\rho\\ \rho P''/(2\sqrt{P'})\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{(\nabla_U r_1\cdot r_1+r_1)(U_0) = \left[\begin{arra... ...'_0)/(2\sqrt{P'_0})\end{array}\right] = \rho_0^2V_{+}''(\rho_0)\end{eqnarray*}$$

であるから、 $\rho_1''(0)=\rho_2''(0)=\rho_0$ であれば、

$$\begin{eqnarray*}U_1''(0) &=& V_{-}''(\rho_0)(\rho_1'(0))^2+V_{-}'(\rho_0)\rho... ...+\frac{1}{\rho_0}r_2(U_0)\rho_0 = (\nabla_U r_2\cdot r_2)(U_0)\end{eqnarray*}$$

となる。

$s$ は、

$$s = \frac{[\rho u]}{[\rho]} = \frac{\rho[u]+u_0[\rho]}{[\rho]} = u_0+\rho\frac{[u]}{[\rho]} = u_0\pm \rho f_1(\rho;\rho_0)$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*}s(\rho_0) &=& u_0\pm \rho_0f_1(\rho_0;\rho_0) = u_0\pm \sqr... ...qrt{P'_0}} = \frac{1}{2\rho_0}(\nabla_U\lambda_j\cdot r_j)(U_0)\end{eqnarray*}$$

となり、確かに

$$\frac{d s}{d \delta}\Big\vert _{\delta=0} = \frac{d s}{d \rh... ...ho_0}\rho_j'(0) = \frac{1}{2}(\nabla_U\lambda_j\cdot r_j)(U_0)$$

となる。

この場合、 $\rho_1(\delta)$, $\rho_2(\delta)$ としては、例えば

$$\rho_1(\delta)=\rho_0e^{-\delta},\hspace{1zw} \rho_2(\delta)=\rho_0e^\delta$$

と取ればよい。