4.3 特異性の伝播

この不連続線を、偏微分方程式の「特異性の伝播」という観点から考えてみる。 この節は、[7] の第 5 章 §1.3、 「不連続線としての特性曲線. 波面」の節での議論を参考に考察を行う。

まずは、方程式 (4.1) の 導関数の不連続性について考える。 $U(t,x)$ が $(t,x)$ について連続で、 $(C^1)$ 曲線 $x=x(t)$ 以外ではなめらか ($C^1$) で、 $x=x(t)$ では $U_t$, $U_x$ が不連続であるが、 $x=x(t)$ への有限な極限値は存在する (第一種不連続) であるとする。 つまり、

$$U(t,x(t)+0)-U(t,x(t)-0)=0$$ (4.59)

$$U_x(t,x(t)+0)-U_x(t,x(t)-0)=H(t)$$ (4.60)

であるとする。

まず、(4.10) を $t$ で微分すると、

$$U_t(t,x(t)+0)+x'(t)U_x(t,x(t)+0) - \{U_t(t,x(t)-0)+x'(t)U_x(t,x(t)-0)\}=0$$

となるので、

$$[U_t]=\Bigl[U_t\Bigr]^{x=x(t)+0}_{x=x(t)-0} =-x'(t)[U_x]=-x'(t)H(t)$$

となるが、方程式 (4.1) より、

$$\begin{eqnarray*}[U_t] &=& [-F(U)_x] = -[\nabla_UF(U)U_x] \\ &=& -\nabla_U... ...x(t)))\{U_x(t,x(t)+0)-U_x(t,x(t)-0)\} \\ &=& -\nabla_UF(U) H(t)\end{eqnarray*}$$

となるので、 $\nabla_UF(U) H(t)=x'(t)H(t)$ がいえる。 よって、$H(t)\neq 0$ であれば、ある $j$ に対し、

$$\left\{\begin{array}{l} x'(t)=\lambda_j(U(t,x(t))),\\ H(t)=c(t)r_j(U(t,x(t))) \end{array}\right.$$ (4.61)

が成り立つ。 よって、(4.12) の第 1 式より、 このような $x=x(t)$ は $j$-特性曲線であることがわかる。

例えば、膨張波解 (3.8) の端の特性曲線 $x=\lambda_j(U_0)t$, $x=\lambda_j(U_1)t$ が、 この導関数の不連続線に相当する。

なお、[7] では、方程式を座標変換して考察しているが、 それはこの場合で言えば、この不連続線の近くで、

$$\left\{\begin{array}{l} \eta = x-x(t),\\ \xi = t\end{array}\right.$$

のような座標変換を行うことに相当し、この $(\eta,\xi)$ は、

$$\left\vert\begin{array}{cc} \eta_t & \eta_x \\ \xi_t & \x... ...{array}{cc} -x'(t) & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right\vert =-1$$

であるから確かに $(t,x)$ の代わりに $(\eta,\xi)$ に座標変換できて、 $x=x(t)$ では $[U_\xi]=0$, $[U_\eta]=H$ となることになる。 これは、

$$\left\{\begin{array}{l} U_t=U_\eta(-x'(t))+U_\xi,\\ U_x=U_\eta\end{array}\right.$$

から、

$$\left\{\begin{array}{l} U_\eta=U_x,\\ U_\xi=U_t+x'(t)U_x\end{array}\right.$$

となるから、直接 (4.10), (4.11) から

$$\begin{eqnarray*}[U_\xi] &=& \frac{d}{d t}U(t,x(t)+0)-\frac{d}{d t}U(t,x(t)-0)=0,\\ [.5zh] [U_\eta] &=& [U_x]=H(t)\end{eqnarray*}$$

のように得ることもできる。

よって、(4.1) を $(\eta,\xi)$ で表せば、

$$0 = U_t+F_x = -x'(t)U_\eta+U_\xi+F_\eta = -x'(t)U_\eta+U_\xi+\nabla_UF(U)U_\eta$$

とすることで、この式の $x=x(t)$ での段差を考えれば、

$$-x'(t)[U_\eta]+[U_\xi]+\nabla_UF(U)[U_\eta] =(\nabla_UF(U)-x'(t))H(t) =0$$

となるので、(4.12) を得ることができる。

次は、$U$ 自身の不連続性について考える。 そのために、2 節で微分方程式を導くために使われた $\bar{M}^1$, $\bar{N}^1$ を考える。

2.4 節では、 この $\bar{M}^1$, $\bar{N}^1$ に対する保存則 (2.9) を、それらが微分可能であるとして $t$, $x$ で微分することで質量保存則方程式 (2.10) を導いたわけであるが、 今はその微分可能性を保証できない場合を考えるわけであるから、 むしろその前の、$\bar{M}^1$, $\bar{N}^1$ に対する保存則 (2.9) から始めるべきである。

つまり一般には、(4.1) を考える代わりに、 その前の形の保存則として、

$$\bar{U}(t,x)=\int_{x_0}^xU(t,y)dy, \hspace{1zw} \bar{F}(t,x)=\int_{t_0}^tF(U(s,x))ds,$$

に対して、

$$\bar{U}(t,x)+\bar{F}(t,x)=\bar{U}(t_0,x)+\bar{F}(t,x_0)$$ (4.62)

が成り立つ、として話を始める。

なめらか ($C^1$) な曲線 $x=d(t)$ が $U$ の不連続線で、 $x=x_0$ はその左にあるとする。 この $x=d(t)$ 以外では $\bar{U}$, $\bar{F}$ は十分滑らかで (4.13) を満たし、 $x=d(t)$ では $\bar{U}$, は連続ではあるが、 その微分は不連続 (第一種不連続) であるとする:

$$\bar{U}(t,d(t)+0)=\bar{U}(t,d(t)-0)$$ (4.63)

なお、この (4.14) と (4.13) を組み合わせると、

$$[\bar{F}]=-[\bar{U}]+[\bar{U}(t_0,x)]+[\bar{F}(t,x_0)] =0$$

となるので、$\bar{F}$ も連続であることが言える。

(4.14) を $t$ について微分すると、

$$[\bar{U}_t]+d'(t)[\bar{U}_x]=0$$

が成り立ち、$x=d(t)$ 以外では $\bar{U}_x=U$ であるので、

$$[\bar{U}_t]=-d'(t)[U]$$

となる。 一方、(4.13) より、

$$[\bar{U}_t] = [-\bar{F}_t(t,x)+\bar{F}_t(t,x_0)] = -[\bar{F}_t(t,x)] = -[F]$$

となるので、結局ランキン-ユゴニオ条件

$$[F]=d'(t)[U]$$

が得られることになる。