8.3 Tartar 方程式

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8.3 Tartar 方程式

これは近似解とは直接は関係なく、エントロピー、すなわち方程式の形のみに関わる話になる。基本的に今のところエントロピーがたくさん存在する $N\leq 2$ の場合にしか Tartar 方程式は解かれておらず、

の場合でも解かれている方程式系はほぼ以下の通りである。

弾性系:

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{l} v_t-u_x=0,\\ u_t-\sigma(v)_x=0 \end{array}\right. \end{displaymath}$

$v\sigma''(v)\geq 0$ の場合は DiPerna ([14]), $v\sigma''(v)\leq 0$ の場合は J.Shearer ([33]), P.Lin ([34]) らの結果があるが、 $v\sigma''(v)\leq 0$ の場合は $\sigma(v)$ にかなり制約が必要で、例えば $\sigma'\rightarrow 0$ $(\vert v\vert\rightarrow\infty)$ の場合には未解決。
気体のバロトロピックモデル:

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{l} \rho_t + (\rho u)_x=0,\\ (\rho u... ...t. \hspace{1zw}(\rho\geq 0, P'(\rho)\geq 0, P''(\rho)\geq0) \end{displaymath}$

DiPerna ([15]), Ding,Chen,Luo ([26,27],[28]), Lions,Perthame,Tadmor,Souganidis ([19,20]), Chen,LeFloch ([31]), Makino ([30]) 等の結果がある。ただし圧力関数 $P(\rho)$ には強い制約がつく。または、この方程式の相対論形を扱ったものもある (Makino [44])。
へそ型の退化性を持つ 2 $\times$ 2 の連立方程式:

$\begin{displaymath} f'(U_0) \sim \left[\begin{array}{ll}\lambda_1&0 0&\lambda... ...ambda_1(U) (U\neq U_0), \lambda_2(U_0)=\lambda_1(U_0)) \end{displaymath}$

Chen,Kan ([45])
一般の 2 $\times$ 2 の連立方程式に対する考察: Serre [46].

2 $\times$ 2 の連立方程式の場合、エントロピー対の方程式 (9) は未知関数の数は同じになり、初期値の任意性の分エントロピー対はたくさんあることになり、それにより Tartar 方程式が解けるものもあるが、まだ 2 $\times$ 2 の方程式でも Tartar 方程式が解かれていないものは多い。

また、が 3 以上の場合はエントロピーがほとんどないので、今のところ Tartar 方程式を解くには不十分で、例えばエネルギー保存まで含めた完全な形の気体の方程式などには補完測度法は適用されていない。

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Shigeharu TAKENO
2001年 12月 17日