6 ロンスキー行列式が恒等的に 0 の場合

最後に、ロンスキー行列式が恒等的に 0 の場合でも、 関数の集まりが一次従属とは限らないこと、 すなわち、定理 5 の逆は成立しないことを示す。

簡単な反例は、ロンスキー行列式の Wikipedia ([1]) にも 載っている、 $f_1(x)=x^2$ と $f_2(x)=x\vert x\vert$ である。$f_2(x)$ は、 $f_1(x)$ の放物線の$x<0$ の方を上下反転させたものになっているが、 $x=0$ で $x$ 軸に 2 次に接しているので、$f_1,f_2$ は 1 回微分可能で、 導関数 $f_1'(x)=2x$, $f_2'(x)=2\vert x\vert$ も連続となる。 このとき、$f_1,f_2$ のロンスキー行列式は、

$$W(x;f_1,f_2)=\left\vert\begin{array}{cc}x^2&x\vert x\vert\\ 2x&2\vert x\vert\end{array}\right\vert=2x^2\vert x\vert-2x^2\vert x\vert=0$$

となって恒等的に 0 になる。$x\leq 0$ だけみれば $f_2(x)=-f_1(x)$ で、$x\geq 0$ だけみれば $f_2(x)=f_1(x)$ なので、 それぞれ一次従属であるが、実数全体でみれば一次従属ではないので (一方が 他方の実数倍では表せない)、 これがロンスキー行列式は恒等的に 0 だが一次従属ではない例のひとつ となる。

このように、区分的には一次従属であり、全体で見れば一次従属ではない 例はいくらでも作ることができて、例えば $n$ 個の関数の例も 上の例を発展させれば以下のように作ることができる。

例 7

• $n\geq 2$, $1\leq j\leq n-2$ に対し、
  $$g_0(x) = \left\{\begin{array}{ll}-1&(x<0)\\ 1&(x\geq 0)\end{array... ...begin{array}{ll}1&(x<j-1)\\ -1&(j-1\leq x<j)\\ 1&(x\geq j)\end{array}\right.$$
  とし、
  

  	$$f_1(x)$$	$=$	$$x^n(x-1)^n\cdots(x-n+2)^n,$$
  	$$f_2(x)$$	$=$	$$f_1(x)g_0(x), \hspace{1zw}f_j(x)=f_1(x)g_{j-2}(x)\hspace{0.5zw}(j=3,\ldots,n)$$

  とすると、
  • $f_j(x)$ はいずれも $x=k$ ( $0\leq k\leq n-2$) で $x$ 軸に $n$ 次で接しているので $(n-1)$ 回微分可能、$(n-1)$ 階導関数まで連続
  • 各区間 $(-\infty,0),(j-1,j)$ ( $1\leq j\leq n-2$) では互いに $\pm 1$ 倍が違うだけなので 一次従属であり、よって $W(x)$ もその区間では 0、 $(n-2,\infty)$ ではすべて等しいので $W(x)=0$
  • $W(x)$ は連続なので、区間の端でも $W(x)=0$ となり、 $W(x)$ は恒等的に 0
  • $x$ 全体でみれば、 $c_1f_1(x)+\cdots+c_nf_n(x)=0$ とすると、 $x=k$ ( $0\leq k\leq n-2$) 以外では $c_1+c_2 g_0(x)+c_3g_1(x)+\cdots+c_ng_{n-2}(x)=0$ となり、 いずれも階段関数なので、この関係は、
    $$\left\{\begin{array}{lll} c_1-c_2+c_3+c_4+\cdots+c_n & = 0 & (x<... ...x<n-2) \\ c_1+c_2+c_3+c_4+\cdots+c_n & = 0 & (n-2<x) \\ \end{array}\right.$$
    と同値で、この係数の行列式 $I$ が $I\neq 0$ なら $c_1=\cdots=c_n=0$ で、 逆に $I=0$ ならばこの関係を満たす、 少なくとも 1 つは 0 ではない $c_j$ の組が存在することになるが、
    

    	$$I$$	$=$	$$\left\vert\begin{array}{ccccc} 1&-1&1&\cdots&1\\ 1&1&-1&\cdots&1... ...\ &\vdots&& &\vdots\\ 1&0&0&\cdots&-2\\ 1&0&0&\cdots&0\end{array}\right\vert$$
    		$=$	$$(-1)^{n+1}\left\vert\begin{array}{ccc} -2&& O\\ &\ddots&\\ O&&-2\end{array}\right\vert =(-1)^{n+1}(-2)^{n-1}\neq 0$$

    なので、 $c_1=\cdots=c_n=0$ となり、よって $f_1,\ldots,f_n$ は 一次独立である。
  これで、$(n-1)$ 階まで導関数が連続で、 $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ が 一次独立であるが、そのロンスキー行列式が実数全体で 0 となる 例が作られたことになる。