14 部分積分の形

ここまでいくつかの節では、変数の置き換えを行って リーマン和を計算する場面もあったが、それは「置換積分」に相当する。 それに対して、本節以降の数節では「部分積分」に相当する定積分の 区分求積について考察する。

まずは、指数関数の $x$ 倍の定積分

$$I_{xexp}(a,b) = \int_a^b xA^xdx \hspace{1zw}(a<b,\ A>0,A\neq 1)$$ (84)

を考える。 この定積分は、通常は $A^x=(A^x/\log_e A)'$ と見て 部分積分するものであるが、これを区分求積で考える。

リーマン和は

$$S(\Delta_n) = \sum_{k=1}^n\bar{x}_k A^{\bar{x}_k} (x_k-x_{k-1})$$

であるが、$x_k$ は等分、標本点 $\bar{x}_k$ は右端に取る:

$$x_k=a+\frac{k}{n}(b-a) = a+c\,\frac{k}{n}, \hspace{1zw}\bar{x}_k=x_k$$

このとき、$B=A^{c/n}$ とすると、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{k=1}^n\left(a+c\,\frac{k}{n}\right)A^{a+ck/n}\frac{c}{n} \ =\ \frac{c}{n} A^a\sum_{k=1}^n\left(a+c\,\frac{k}{n}\right)B^k$$
		$=$	$$c A^a\left(\sum_{k=1}^n\frac{a}{n}B^k +\frac{c}{n^2}\sum_{k=1}^nkB^k\right)$$

となるが、

$$\sum_{k=1}^n B^k = B\,\frac{B^n-1}{B-1} = A^{c/n}\,\frac{A^c-1}{A^{c/n}-1}$$

であり、また $kB^k$ の和は、

	$${(B-1)\sum_{k=1}^n kB^k \ =\ \sum_{k=1}^n (kB^{k+1}-kB^k)}$$
		$=$	$$(1\cdot B^2+2\cdot B^3+\cdots+nB^{n+1}) -(1\cdot B+2\cdot B^2+3\cdot B^3+\cdots+nB^n)$$
		$=$	$$-(B+B^2+B^3+\cdots+B^n)+nB^{n+1} \ =\ -B\,\frac{B^n-1}{B-1} + nB^{n+1}$$

より、

$$\sum_{k=1}^n kB^k = \frac{nB^{n+1}}{B-1} \,-B\,\frac{B^n-1}{(B-1)^2} = \frac{nA^{c(n+1)/n}}{A^{c/n}-1} \,-A^{c/n}\,\frac{A^c-1}{(A^{c/n}-1)^2}$$

となるので、$S(\Delta_n)$ は

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$aA^a A^{c/n}(A^c-1)\frac{c/n}{A^{c/n}-1} +A^a\,\frac{c^2}{n^2}\le... ...\frac{nA^{c(n+1)/n}}{A^{c/n}-1} \,-A^{c/n}\,\frac{A^c-1}{(A^{c/n}-1)^2}\right\}$$
		$=$	$$aA^a A^{c/n}(A^c-1)\frac{c/n}{A^{c/n}-1} +cA^a\,\frac{c/n}{A^{c/n}-1}\,A^{c(1+1/n)}$$
			$$\mbox{} -A^a(A^c-1)A^{c/n}\left(\frac{c/n}{A^{c/n}-1}\right)^2$$

となるが、(32) より $n\rightarrow\infty$ に対して

	$$\lim_{n\rightarrow\infty }S(\Delta_n)$$	$=$	$$aA^a(A^c-1)\,\frac{1}{\log_e A} +\frac{cA^aA^c}{\log_e A}\,-\,\frac{A^a(A^c-1)}{(\log_e A)^2}$$
		$=$	$$a\frac{A^b-A^a}{\log_e A}+\frac{(b-a)A^b}{\log_e A} \,-\,\frac{A^b-A^a}{(\log_e A)^2}\hspace{1zw}(c=b-a)$$
		$=$	$$\frac{bA^b-aA^a}{\log_e A}\,-\,\frac{A^b-A^a}{(\log_e A)^2}$$

となることがわかる。

$x_k$ は等分点だから、これが $I_{xexp}(a,b)$ となる:

$$I_{xexp}(a,b) = \frac{bA^b-aA^a}{\log_e A}\,-\,\frac{A^b-A^a}{(\log_e A)^2}$$ (85)

さらに、$A^x$ の $x^\ell$ 倍の積分も原理的にはできるのであるが、 その場合 $k^\ell B^k$ の和を求める必要があり、それがかなり面倒である。