15 サイン、コサインの $x$ 倍の定積分

次は、サインやコサインの $x$ 倍の定積分

$$I_{xsin}(a,b) = \int_a^b x\sin xdx, \hspace{1zw}I_{xcos}(a,b) = \int_a^b x\cos xdx \hspace{1zw}(a<b)$$ (86)

を考える。$x\sin x$ は偶関数、$x\cos x$ は奇関数だから $a=0,b>0$ の場合のみ考えればよい。 3 節同様、分点は等分 ($x_k=kb/n$)、 標本点は右端 ($\bar{x}_k=x_k$) に取る。 このとき、$I_{xsin}(0,b)$ のリーマン和 $S_{xsin}(\Delta_n)$ は、

$$S_{xsin}(\Delta_n) =\sum_{k=1}^n (\bar{x}_k\sin\bar{x}_k)(x_k-x_{k-1}) =\sum_{k=1}^n \frac{b^2k}{n^2}\sin\frac{bk}{n}$$

より、積和の公式 (23) を 2 回用いることで、

	$${S_{xsin}(\Delta_n) \ =\ \frac{b^2}{2n^2\sin(b/(2n))}\sum_{k=1}^... ...\left(k-\frac{1}{2}\right) -\cos\frac{b}{n}\left(k+\frac{1}{2}\right)\right\} }$$
		$=$	$$\frac{b^2}{2n^2\sin(b/(2n))}\sum_{k=1}^n\left\{ k\cos\frac{b}{n}\left(k-\frac{1}{2}\right) -(k+1)\cos\frac{b}{n}\left(k+\frac{1}{2}\right) \right\}$$
			$$\mbox{} +\frac{b^2}{2n^2\sin(b/(2n))}\sum_{k=1}^n \cos\frac{b}{n}\left(k+\frac{1}{2}\right)$$
		$=$	$$\frac{b^2}{2n^2\sin(b/(2n))}\left\{ \cos\frac{b}{2n} -(n+1)\cos\frac{b}{n}\left(n+\frac{1}{2}\right) \right\}$$
			$$\mbox{} +\frac{b^2}{4n^2\sin^2(b/(2n))}\sum_{k=1}^n \left\{\sin\frac{b(k+1)}{n}-\sin\frac{bk}{n}\right\}$$
		$=$	$$\frac{b^2}{2n^2\sin(b/(2n))}\left\{ \cos\frac{b}{2n} -(n+1)\cos b\left(1+\frac{1}{2n}\right) \right\}$$
			$$\mbox{} +\frac{b^2}{4n^2\sin^2(b/(2n))} \left\{\sin\frac{b(n+1)}{n}-\sin\frac{b}{n}\right\}$$
		$=$	$$b\,\frac{b/(2n)}{\sin(b/(2n))}\left\{ \frac{1}{n}\cos\frac{b}{2n} -\left(1+\frac{1}{n}\right)\cos b\left(1+\frac{1}{2n}\right) \right\}$$
			$$\mbox{} +\left(\frac{b/(2n)}{\sin(b/(2n))}\right)^2 \left\{\sin b\left(1+\frac{1}{n}\right)-\sin\frac{b}{n}\right\}$$

と変形できる。 よって、 $n\rightarrow\infty$ とすると、$x_k$ は等分なので $S_{xsin}(\Delta_n)$ は $I_{xsin}(0,b)$ に収束し、(24) より 最後の式は $-b\cos b+\sin b$ に収束することがわかる。よって、

$$I_{xsin}(a,b)=-b\cos b+a\cos a+\sin b-\sin a$$ (87)

となる。$I_{xcos}(a,b)$ のリーマン和 $S_{xcos}(\Delta_n)$ も 同じ分点、標本点に対して同様に積和の公式 (23) を用いて 変形することで、

	$${S_{xcos}(\Delta_n) \ =\ \sum_{k=1}^n (\bar{x}_k\cos\bar{x}_k)(x_k-x_{k-1}) \ =\ \sum_{k=1}^n \frac{b^2k}{n^2}\cos\frac{bk}{n} }$$
		$=$	$$\frac{b^2}{2n^2\sin(b/(2n))}\sum_{k=1}^n k\left\{ \sin\frac{b}{n}\left(k+\frac{1}{2}\right) -\sin\frac{b}{n}\left(k-\frac{1}{2}\right)\right\}$$
		$=$	$$\frac{b^2}{2n^2\sin(b/(2n))}\sum_{k=1}^n\left\{ (k+1)\sin\frac{b}{n}\left(k+\frac{1}{2}\right) -k\sin\frac{b}{n}\left(k-\frac{1}{2}\right) \right\}$$
			$$\mbox{} -\frac{b^2}{2n^2\sin(b/(2n))}\sum_{k=1}^n \sin\frac{b}{n}\left(k+\frac{1}{2}\right)$$
		$=$	$$\frac{b^2}{2n^2\sin(b/(2n))}\left\{ (n+1)\sin\frac{b}{n}\left(n+\frac{1}{2}\right) -\sin\frac{b}{2n} \right\}$$
			$$\mbox{} -\frac{b^2}{4n^2\sin^2(b/(2n))}\sum_{k=1}^n \left\{\cos\frac{bk}{n}-\cos\frac{b(k+1)}{n}\right\}$$
		$=$	$$\frac{b^2}{2n^2\sin(b/(2n))}\left\{ (n+1)\sin b\left(1+\frac{1}{2n}\right) -\sin\frac{b}{2n} \right\}$$
			$$\mbox{} -\frac{b^2}{4n^2\sin^2(b/(2n))} \left\{\cos\frac{b}{n}-\cos\frac{b(n+1)}{n}\right\}$$
		$=$	$$b\,\frac{b/(2n)}{\sin(b/(2n))}\left\{ \left(1+\frac{1}{n}\right)\sin b\left(1+\frac{1}{2n}\right) -\frac{1}{n}\sin\frac{b}{2n} \right\}$$
			$$\mbox{} -\left(\frac{b/(2n)}{\sin(b/(2n))}\right)^2 \left\{\cos\frac{b}{n}-\cos b\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}$$

となるので、極限は $b\sin b-1+\cos b$ となる。よって、

$$I_{xcos}(a,b)=b\sin b-a\sin a+\cos b-\cos a$$ (88)

が得られる。

なお、オイラーの公式を知っているという立場であれば、 サインとコサインを合わせて複素指数で前節の方法で扱う、 ということも可能である。

また、$x^2$ 倍の場合は積和の公式を 3 回使って考えなければならず、 原理的には可能だが計算はだいぶ面倒になる。