13 アークタンジェントの定積分

逆関数の最後に、$\arctan y$ の定積分

$$I_{atan}(a,b) = \int_a^b \arctan y dy\hspace{1zw}(a<b)$$ (81)

を考える。 $\arctan y$ も奇関数なので、$a=0,b>0$ の $I_{atan}(0,b)$ で考える。

$\bar{y}_k = y_{k-1}$ とすれば、前節同様の計算によりリーマン和は、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{k=1}^n (\arctan\bar{y}_k)(y_k-y_{k-1})$$
		$=$	$$-\sum_{k=1}^n (\tan x_k)(x_k-x_{k-1}) +b\arctan b -0$$

となる。ここで、 $\arctan y_k = x_k$ とした ($y_0=0, y_n=b$)。

そして $x_k$ を等分割

$$x_k = \frac{k}{n}\arctan b$$

とすれば

$$S = \lim_{n\rightarrow\infty }S(\Delta_n) = -\int_0^{\arctan b}\tan x dx + b\arctan b$$

となる。(73) より、

$$S=\log_e\cos(\arctan b) + b\arctan b$$

となるが、 $0<\arctan b<\pi/2$ より、

$$\cos(\arctan b) = \sqrt{\frac{1}{1+\tan^2(\arctan b)}} = \frac{1}{\sqrt{1+b^2}}$$

となるので、

$$S = - \frac{1}{2}\log_e(1+b^2)+b\arctan b$$

となる。

$$y_k = \tan x_k = \tan\left(\frac{k}{n}\arctan b\right)$$

で、 $0<\arctan b<\pi/2$ より $\tan(x\arctan b)$ は $[0,1]$ で 下に凸な増加関数なので $\delta(\Delta_n)$ は $k=n$ で最大値となり、

$$\delta(\Delta_n) = \tan(\arctan b) - \tan\frac{(n-1)\arctan b}{n} \rightarrow 0$$

なので、

$$I_{atan}(0,b) = - \frac{1}{2}\log_e(1+b^2)+b\arctan b$$ (82)

よって、

$$I_{atan}(a,b) = - \frac{1}{2}\log_e(1+b^2) + \frac{1}{2}\log_e(1+a^2) +b\arctan b - a\arctan a$$ (83)

となる。