12 アークサインの積分

次は $\arcsin y$ の定積分

$$I_{asin}(a,b) = \int_a^b \arcsin y dy \hspace{1zw}(-1\leq a<b\leq 1)$$ (77)

を考える。 まず $\arcsin y$ は奇関数なので、 $a=0, 0<b\leq 1$ として $I_{asin}(0,b)$ のみ考えればよい。

前節でも使った、以下の和の書き換えを利用する:

	$${\sum_{k=1}^n f(y_{k-1}) (y_k-y_{k-1}) \ =\ \sum_{k=1}^n f(y_{k-1}) y_k - \sum_{k=1}^n f(y_{k-1}) y_{k-1}}$$
		$=$	$$\sum_{k=1}^n f(y_{k-1}) y_k - \sum_{k=1}^n f(y_k) y_k -f(y_0)y_0+f(y_n)y_n$$
		$=$	$$-\sum_{k=1}^n y_k(f(y_k)-f(y_{k-1})) -f(y_0)y_0+f(y_n)y_n$$	(78)

これを使って、リーマン和の変形を行う。$I_{asin}(0,b)$ の リーマン和

$$S(\Delta_n) = \sum_{k=1}^n (\arcsin\bar{y}_k)(y_k-y_{k-1}) \hspace{1zw}(y_0=0, y_n=b)$$

で、 $\bar{y}_k = y_{k-1}$, $\arcsin y_k = x_k$ とすると

$$0 = x_0<x_1<\cdots <x_n = \arcsin b$$

で、(78) より、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{k=1}^n (\arcsin y_{k-1})(y_k-y_{k-1})$$
		$=$	$$-\sum_{k=1}^n y_k(\arcsin y_{k}-\arcsin y_{k-1}) +b\arcsin b - 0$$
		$=$	$$-\sum_{k=1}^n (\sin x_k)(x_k-x_{k-1}) +b\arcsin b$$

となる。よって $x_k$ を等分

$$x_k = \frac{k}{n}\,\arcsin b$$

と取れば、

$$S = \lim_{n\rightarrow\infty } S(\Delta_n) = -\int_0^{\arcsin b} \sin x dx + b\arcsin b$$

となる。(26) より、

$$S = \cos(\arcsin b)-\cos 0 + b\arcsin b$$

となるが、 $0<\arcsin b\leq \pi/2$ なので、

$$\cos(\arcsin b) = \sqrt{1-\sin^2(\arcsin b)} = \sqrt{1-b^2}$$

となり、よって

$$S = \sqrt{1-b^2}-1+b\arcsin b$$

となる。 $\delta(\Delta_n)$ は、

$$y_k = \sin x_k = \sin\left(\frac{k}{n}\,\arcsin b\right)$$

で、 $0<\arcsin b<\pi/2$ より $\sin(x\arcsin b)$ は $[0,1]$ で上に凸な 増加関数なので $k=1$ で最大値を取り、

$$\delta(\Delta_n) = y_1-y_0 = \sin\frac{\arcsin b}{n} \rightarrow 0$$

となって収束条件も満たされる。 よって、

$$I_{asin}(0,b) = \sqrt{1-b^2}-1+b\arcsin b$$ (79)

となり、$I_{asin}(a,b)$ は

$$I_{asin}(a,b) = \sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}+b\arcsin b-a\arcsin a$$ (80)

となる。

なお、$\arccos y$ は、

$$\arccos y = \frac{\pi}{2}-\arcsin y$$

なので、

	$$\int_a^b\arccos ydy$$	$=$	$$\frac{\pi}{2}(b-a) - \sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2}-b\arcsin b+a\arcsin a$$
		$=$	$$- \sqrt{1-b^2} + \sqrt{1-a^2} + b\arccos b - a\arccos a$$

となる。