5 不偏分散の自乗の展開

本節では (7) を示すために、 不偏分散の分散 (確率変数としての分散) を計算する。

(6) より、

$$V[V_1] = E[(V_1-\sigma^2)^2] = E[V_1^2]-(\sigma^2)^2$$ (9)

であるが、この $E[V_1^2]$ は (2) より、

$$E[V_1^2] = E\left[\left(\frac{n}{n-1}\right)^2 (\overlin... ...overline{X^2}^2-2\overline{X^2}\,\overline{X}^2+\overline{X}^4]$$ (10)

となる。 この (10) の最後の式の中身を順に展開していくが、 そのために次のような記号を導入する。 $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ を自然数として、

$$SX(\alpha_1,\ldots,\alpha_k) = \sum'_{i_1,\ldots,i_k}X_{i_1}^{\alpha_1}\cdots X_{i_k}^{\alpha_k}$$ (11)

と定義する。ただし、和 $$\sum'_{i_1,\ldots,i_k}$$ は、 各 $i_j$ が 1 から $n$ まで動き、 かつ $i_1,\ldots,i_k$ はすべて互いに異なるものに対する 和であるとする。例えば、

$$SX(2) = \sum_{i=1}^nX_i^2, \hspace{1zw} SX(2,1) = \sum_{i\ne... ...zw} SX(2,2) = \sum_{i\neq j}X_i^2X_j^2 = 2\sum_{i<j}X_i^2X_j^2$$

などとなる。

命題 2

$SX$ 同士の積について次が成り立つ。

$${SX(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)SX(\beta) }$$

$$= \sum_{j=1}^k SX(\alpha_1,\ldots,\alpha_j+\beta,\ldots,\alpha_k) + SX(\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\beta)$$ (12)

証明

(12) の左辺は、

$$SX(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)SX(\beta) = \sum'_{i_1,\ldots... ...}^{\alpha_1}\cdots X_{i_k}^{\alpha_k} \sum_{i=1}^n X_j^\beta$$

であるが、$SX(\beta)$ の部分を $X_{i_1}^\beta$, ..., $X_{i_k}^\beta$ と、それ以外に分ければ、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{SX(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)SX(\beta) } \\ &=& \sum'... ..._j+\beta,\ldots,\alpha_k) + SX(\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\beta) \end{eqnarray*}$$

これを使うと、まず $\overline{X^2}^2$ は、

$$\overline{X^2}^2 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2\right)^2 = \frac{1}{n^2} SX(2)^2 = \frac{1}{n^2} (SX(4)+SX(2,2))$$ (13)

となる。次に、 $\overline{X^2}\,\overline{X}^2$ は、

$$\begin{eqnarray*}\overline{X^2}\,\overline{X}^2 &=& \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i... ...) \\ &=& \frac{1}{n^3}(SX(4)+SX(3,1)+SX(3,1)+SX(2,2)+SX(2,1,1))\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$2\overline{X^2}\,\overline{X}^2 = \frac{2}{n^3}(SX(4)+2SX(3,1)+SX(2,2)+SX(2,1,1))$$ (14)

となる。最後に、 $\overline{X}^4$ は、

$$\begin{eqnarray*}\overline{X}^4 &=& \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)^4 ... ...+3SX(2,1,1) \\ && {}+SX(2,1,1)+SX(1,2,1)+SX(1,1,2)+SX(1,1,1,1))\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\overline{X}^4 = \frac{1}{n^4}(SX(4)+4SX(3,1)+3SX(2,2)+6SX(2,1,1)+SX(1,1,1,1))$$ (15)

となる。

(13), (14), (15) より、

$${\overline{X^2}^2-2\overline{X^2}\,\overline{X}^2+\overline{X}^4}$$

$$= \frac{1}{n^2}(SX(4)+SX(2,2)) -\frac{2}{n^3}(SX(4)+2SX(3,1)+SX(2,2)+SX(2,1,1))$$

$${}+\frac{1}{n^4}(SX(4)+4SX(3,1)+3SX(2,2)+6SX(2,1,1)+SX(1,1,1,1))$$

$$= \frac{(n-1)^2}{n^4}SX(4) -\frac{4(n-1)}{n^4}SX(3,1) +\frac{n^2-2n+3}{n^4}SX(2,2)$$

$${}-\frac{2(n-3)}{n^4}SX(2,1,1) +\frac{1}{n^4}SX(1,1,1,1)$$ (16)

となる。