Q and A (基礎数理 I(b); 工学科 1 年)


目次


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はじめに

講義に関して出た質問と回答をここに上げておくことにします。 なお、ここの回答は原則竹野による回答です。

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Q and A 目次

1. Δf とは何か
2. Δf/Δx → f' となるのがわからない
3. 期末テストの試験範囲は小テストの範囲以降になるのか
4. 答案に書かれている○、□、△、×はどういう意味か
5. 答案に書かれている L の反対 (」) のような記号は、 こう書け、という意味か
6. 2n の極限である3n の極限であるは 区別して書いたりはしないのか
7. 逆関数の微分の公式は、x=1/y を意味するのか
8. 小テストの問題は 1 問何点か
9. 0/0 の不定形の極限の問題は分子分母を 0 で約分してもいいのか
10. {1/(1+a2)}n の問題の答え方について
11. 合成関数の微分は u と置くところは頭の中でやって構わないか
12. クラス分けテストの満点は何点か
13. クラス分けの基準は
14. 定理 1.1 のαβが有限とは
15. 3n/n=3 というのは不定形にならない例か
16. ∞×0 がなぜ不定形なのか
17. (x+h)1/2 は展開できないのか
18. 答案の書き方がよくわからない
19. 3・5n15n ではないのか
20. は数ではないのか
21. {n1/2-(n-1)1/2}/{(n+2)1/2-n1/2} の極限の問題は n1/2 で分子分母割って解けないのか
22. limn→∞(2+5/n) = 2+0 = 2」のような場合に 「2+0」のような部分は書かない方がいいと高校では言われたが
23. 弧度法のπとは円周率のことなのか
24. log の書き方がおかしい
25. 教員が屁理屈すぎる
26. 静かすぎる/多少雑談を入れろ
27. 答えのプリントの解説がもう少し欲しい
28. 重解とはどういう意味ですか
29. 「函数」は「関数」のことですか
30. 授業中トイレに行く場合は何も言わずに出ていってもよいか
31. エアコンが寒い
32. 演習の時間かなりうるさい場合がある
33. P の下に横線を引いている理由は
34. 工学を学びに来た学生以外は来るのは無駄なのか
35. 高校で数学 III を習っていないがすららや予習復習だけでついていけるか
36. ノートは計算と板書を分けた方がよいか
37. 傾きはなぜ (y の進み)/(x の進み) で求まるのか
38. 復習問題が最後までいかない
39. 工学部では三角関数をどういうところで使うのですか
40. 授業中の問などは学生を指名して答えさせたらどうか
41. テストの勉強は、ノート、教科書、プリントのどれを中心にやればよいか
42. logLog と書いていいか
43. 22-x22/2x になるのがよくわからない
44. テストの返却はその何回後の講義になるのか
45. 平方根の四則演算のやり方がわからない
46. 1/√2 はテストでは √2/2 としないといけないか
47. 小テストは中間テストか
48. 余弦定理の三角形の向きには意味があるか
49. 倍角、半角の公式の覚え方は
50. 2 重のかっこの場合、中かっこを使わなくていいのか
51. 学生証による出欠システムがうまく認識されない
52. 少し話が早い/進度が早い
53. 前期の範囲はどこまでなのか
54. 問題を解く時間がもっと欲しい [New]
55. 90°sin, cos, tan の求め方は [New]
56. 正答例の計算の途中は省略してよいか [New]

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Q and A 回答


Q.1. Δf とは何か

A.1.

講義で積の微分法の公式 (fg)'=f'g+fg' を証明するときに Δf というものを使いました。Δf (Δf(x) ではありません) はそのときに書きましたが、

Δf = f(x+Δx)-f(x)
ですので、これまでは Δy と書いていた、関数の増分のことです。

積の微分では関数は f(x), g(x) の 2 つが出てくるので、 Δy と書くとそれがどちらであるのか分からないので、それを区別するために Δf, Δg と書きました。
(05/20 2005)

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Q.2. Δf/Δx → f' となるのがわからない

A.2.

これも、Q.1. と同種の質問だろうと思いますが、 今までは Δy と書いていた関数の増分を今回は Δf と書いたので わからなくなったのでしょうね。

今回の積の微分の証明では関数は f(x), g(x) の 2 つが出てくるので、 Δy と書くとそれがどちらであるのか分からないので、 それを区別するために Δf, Δg と書きました。 よって、

Δf/Δx = {f(x+Δx)-f(x)}/Δx
のことですから、これが Δx → 0 のときに f'(x) に収束するのは当然のことで、むしろこれが導関数 f'(x) の定義です。
(05/20 2005)

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Q.3. 期末テストの試験範囲は小テストの範囲以降になるのか

A.3.

そうとは限りません。 期末テストに関してはまた期末テストの前に説明します。
(06/13 2005)

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Q.4. 答案に書かれている○、□、△、×はどういう意味か

A.4.

○は正解、□はちょっと惜しい (少し減点)、△はもう少し悪い (もう少し減点)、 ×は不正解 (点数はあげられない) を意味しています。 それぞれの点数は問題によって違います。

なぜ□を△よりもいいものを表すのに使うのかというと、 □の方が△よりも○に近いからです。
(08/03 2005)

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Q.5. 答案に書かれている L の反対 (」) のような記号は、 こう書け、という意味か

A.5.

いや、違います。それは私の採点のときに書く記号で、 そこまでは合ってる、ということを意味します。 それを目安にすれば、どこで間違えているかわかるでしょう。
(08/03 2005)

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Q.6. 2n の極限である3n の極限であるは 区別して書いたりはしないのか

A.5.

どんな無限大でも特に区別はせずに同じ「」の記号で書きます。

しかし、講義で紹介したように、個々の無限大には違いがあり、 例えば n の極限の無限大と n2 の極限の無限大では、 無限大になる「速さ」が違います。その点に注意が必要です。 だから、同じであっても、単純に引き算して

∞-∞=0
ということにはなりません。 には普通の演算法則は成り立ちませんから、 は「数ではない」と考えるのが適切でしょう。
(04/26 2006)

なお、無限大を単にとするのではなく、その速さを示す記号として、 O (ラージオー), o (スモールオー) という記号が使われることもあります。

O (ラージオー) は、「等位の無限大」を表わす記号で、 「すべての n に対して |bn/an|≦ C」 となるような定数 C が存在するとき、

bn = O(an)
と書きます。例えば
2n2-5n+3 = O(n2)
のように使います。o (スモールオー) は「低位の無限大」を表わす記号で、 「bn/an→0 (n→∞)」となるとき、
bn = o(an)
と書きます。例えば
2n2-5n+3 = o(n3)
のように使います。

これらの記号を使えば、 無限大 (となる数列や関数) を区別しながら書くことは可能だと言えます。
(04/27 2006)

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Q.7. 逆関数の微分の公式は、x=1/y を意味するのか

A.7.

いや、正しくは、「(x の微分) = 1/(y の微分)」です。 もっと詳しく言うと、

(x を y で微分したもの) = 1/(y を x で微分したもの)
ということを意味しています。

ただし、これを

(x)'=1/(y)'
と書いてしまうと、' (ダッシュ) が何についての微分を意味しているのか わからなくなりますので、普通は dy/dx のような記号で書きます。
(05/30 2006)

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Q.8. 小テストの問題は 1 問何点か

A.8.

現在それは公開していません。

個人的には、点数よりもできているかどうか、 間違っている場合にはそれをちゃんと理解して、 正しい解答がわかるか、といったことの方が大事だと思います。
(06/19 2006)

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Q.9. 0/0 の不定形の極限の問題は分子分母を 0 で約分してもいいのか

A.9.

これは、例えば教科書 9 ページの例題 1 の、 x→2 のときの (x2-4)/(x-2) の極限の問題の話なのですが、 この問題は、分子を (x-2)(x+2) と因数分解して、 分子分母を (x-2) で約分することで、 0/0 を解消して極限を求める、という風に解きます。

講義中にも軽く言ったと思いますが、この際 0 での割り算はできませんから、 約分する (x-2) が 0 であるとそういう約分はできないことになります。 そして、この問題の場合は「x→2」なので (x-2) は 0 ではないのか、 という質問でした。

しかし、9 ページの真中程に下線が引いてあって説明してある通り、 「x→2」の極限を考えるときは、 「x は 2 とは異なるという状態で近づくこととする」 ということになっています。 よって、確かに (x-2) は 0 に近づいていくのですが、 決してその途中で 0 になることはありません。 よって、この段階 (lim の中) での (x-2) の約分は構わないことになります。

そしてそれにより、不定形は解消された連続関数になるので、 極限を求めるときは x=2 を代入することで求めることができます。
(05/22 2007)

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Q.10. {1/(1+a2)}nの問題の答え方について

A.10.

これは、教科書 6 ページの問題 B 1 (6) の、 n→∞ のときの {1/(1+a2)}n の極限の問題の話なのですが、 この極限は 0 になるのですが、その答え方として、

「かっこの中の分数 1/(1+a2) は、分子が分母より小さいので、 極限は 0」
のような答え方でいいのか、という質問でした。

もちろん、それはそれで間違いではありませんが、 この極限が 0 になる直接の理由は、教科書 3 ページの定理 1.2 であり、 この数列が定数の n 乗で、かつ「その定数が -1 から 1 の間の数」なので 定理 1.2 の (3) から極限が 0 になることが言えるわけです。

よって、理由の述べ方としては、「分子が分母より小さいので」というよりは、

「分子が分母より小さいから、その分数が 0 より大きく 1 より小さくなるので」
という方がよりいいんじゃないかと思います。
(05/31 2007)

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Q.11. 合成関数の微分は u と置くところは頭の中でやって構わないか

A.11.

質問者は高校ではそうしてきたので、ということでしたが、 基本的には構いませんが、以下の点に注意してください。


(07/13 2007)

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Q.12. クラス分けテストの満点は何点か

A.12.

数学のクラス分け試験は 1 問 1 点でつけていますので、 問題の個数が満点になります。
(04/20 2009)

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Q.13. クラス分けの基準は

A.13.

微積分ができなかったのに C クラスだったのだけど、 ということも言っておられましたが、 C クラスの微積分の講義は、 高校の微積分の知識を仮定してはいません。 もちろん、高校で微積分を勉強した人は有利でしょうが、 知らなくてもついてこれると思います。

むしろ、それ以前の高校の基本的な内容 (式の整理、三角関数、指数・対数関数など) ができていれば、 だいじょうぶだと思います。 逆に A, B クラスでは、数学演習 I も使ってその辺りの復習から行いますので、 C クラスよりも最終的な到達度は低くなります。

なお、最初の講義でも言いましたが、 基礎数理 I の最終的な成績とクラス分けテストの相関を調べると あまり相関がないことがわかります。 つまり、「高校で微積分もやった」からといって大学で勉強しなければ点数が下がり、 「高校で微積分をやっていない」場合でも大学で勉強すれば高得点が取れる、 ということを表しています。
(04/20 2009)

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Q.14. 定理 1.1 のαβが有限とは

A.14.

「定理 1.1 のαβは有限でないと成り立たない」と言いましたが、 これは、「αβ-∞の場合は、 定理 1.1 は必ずしも成り立たない」 という意味です。

例えば、

an→∞、bn→∞
のときに、
an-bn→∞-∞ = 0
のような計算をしてはいけません。 は「数」ではなく、「状態」を表しているものなので、 そういう計算ができません。

ただ、「∞+∞=∞」や「∞×∞=∞」 みたいな式はある意味で成り立つので、 その辺りが厄介なところですが、 特に問題のある「∞-∞」「∞÷∞」 のようなものは「不定形」として、この後、および§14 にでてきます。
(04/20 2009)

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Q.15. 3n/n=3 というのは不定形にならない例か

A.15.

これは、limn→∞ を頭につければよかったかもしれませんが、 「不定」という言葉の説明として書いた例です。

3n/n は約分しなければ、 n→∞ のときに「∞/∞」という形の例になっています。 同じく紹介した n2/(10n2) も約分しなければ やはり n→∞ のときに「∞/∞」という例になっていますが、 それらは約分すればそれぞれ 3、1/10 となります。 同じようにすれば、その他の任意の数になるような 「∞/∞」の例が作れることになります。

つまり、「∞/∞」だから 1 だとか、「∞/∞」だから 0 だとか、 とは決めることができず、「∞/∞」だとまだそれが何になるかわからない、 ということを意味しています。それが「不定」という言葉の意味です。 3n/n の場合は約分すればその「∞/∞」が解消されるので、 そのように「∞/∞」の形の場合はそれを解消しないと 極限を求めることはできません。
(05/19 2009)

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Q.16. ∞×0 がなぜ不定形なのか

A.16.

講義では、不定形として「∞-∞∞/∞∞×00/0」 を紹介しましたが、 ∞×0 の不定形の例は簡単に作ることができます。 「Q15. 3n/n=3 というのは不定形にならない例か」 で紹介した 3n/n は「∞/∞」の例ですが、これを少し変えて、 「3n×(1/n)」とすれば、3n→∞(1/n)→0 ですから、 ∞×0 の形になっています。 しかし、これは 「Q15. 3n/n=3 というのは不定形にならない例か」 で述べたように不定形です。

同じように、0/0 の例も簡単に作ることができて、 例えば、3n/n を「(1/n)/(1/3n)」と見ればいいわけです。

実は他にも、 「01(+0)0」 なども不定形であることが知られています。これらは対数を取れば、 「0×∞∞×00×(-∞)」の不定形に帰着できます。
(05/19 2009)

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Q.17. (x+h)1/2 は展開できないのか

A.17.

これは、h→0 のときの {(x+h)1/2-x1/2}/h の極限、 すなわち x1/2 の導関数の定義通りの計算問題の話での質問ですが、 x3 の導関数などは、 確かに (x+h)3 を展開して、 h を約分することで 0/0 を解消して極限を求めるので、 (x+h)1/2 も展開できれば便利だろうと考えるのは自然だと思います。 ただ、導関数の定義を学んでいる時点では、 とりあえず「(x+h)1/2 の展開はできない」と答えておきます。

しかし実は、1/2 乗のようなものも、 通常の 2 乗や 3 乗と同じように「展開」することができることが知られています。 それは、§16 の「テイラー展開」(基礎数理 I の最後か基礎数理 II の始め) のところで、「一般二項定理」(教科書 p77) として紹介します。 ちなみに、上の極限の問題をこのテイラー展開を利用して解くこともできます。 興味があれば、自分で勉強してみてもいいでしょう。
(06/04 2009)

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Q.18. 答案の書き方がよくわからない

A.18.

宿題の解答のプリントを配っていますが、 基本的にあれが答案の書き方だと思ってもらって間違いないです。

ただ、宿題の解答では、答案とは別に学生の注意すべき点や補足などを ○や□で囲んで書いていますが、それは試験の答案では書く必要はありません。

質問者は「とおく」とか「よって」とかの日本語は 普通は書かないものかと思っていたようですが、 答案とは「自分の理解の程度、自分の考え方を採点者に伝えるもの」ですから、 本来はむしろ日本語を積極的に書いて説明すべきものです。
(06/19 2009)

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Q.19. 3・5n15n ではないのか

A.19.

この「」は積を意味する記号ですが (これがないと 35n に見える)、 累乗と積は累乗の方が優先的に計算されるので、 これは「5 の n 乗の 3 倍」であって、 「3×5n 乗したもの」ではありません。

例えば、3x2 は、「x の 2 乗の 3 倍」であって、 「3x を 2 乗したもの」ではないですよね。それと同じことです。
(04/23 2010)

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Q.20. は数ではないのか

A.20.

は「限りなく大きくなる」という状態を表す記号で、数ではありません。 例えば「∞+∞」のように、便宜的に数のような書き方をすることもありますが、 数ではなく、そのような形になる、ということを意味しているに過ぎません。

もし数だとすれば、「∞+1 = ∞」だから、 両辺から を引いて「1=0」となる、 という計算ができてしまうわけですが、これはおかしいですよね。 「∞/∞ = 1」としてはいけないのも同じ理由です。

一口に といっても、その への成り方には色んな速さ (n 位の大きさなのか、n2 位の大きさなのか) があって、 の「度合い」は個々にかなり違いがあります。 そこをちゃんと見極めないと正しい計算はできません。
(04/23 2010)

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Q.21. {n1/2-(n-1)1/2}/{(n+2)1/2-n1/2} の極限の問題は n1/2 で分子分母割って解けないのか

A.21.

これは、教科書章末問題の p6 問題 B 1 (4) の問題ですが、 そうやっても解けません。

n1/2 で分子分母割るのは、 「∞/∞」の形の不定形の場合の解法ですが、 この問題の場合、 分子の「n1/2-(n-1)1/2」も 分母の「(n+2)1/2-n1/2」も 「∞-∞」の形の不定形なので、まずそれを解消しなければいけません。

しかも、この分子も分母も実は 0 に収束する (p3 例 4 参照) ので、 「∞/∞」の解法では解けないわけです。 実際、n1/2 で分子分母割っても 「0/0」の不定形の形になるだけで、その先がうまくいきません。

よって、この場合はまず分子分母を有理化して、 「∞/∞」の形にしてから n1/2 で分子分母を割って不定形を解消する、 という手順を取る必要があります。
(05/07 2010)

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Q.22. 「limn→∞(2+5/n) = 2+0 = 2」のような場合に 「2+0」のような部分は書かない方がいいと高校では言われたが

A.22.

その高校の先生が何を意識しているのかは明確にはわかりませんが、 もしかしたら左側極限 (a+0) や右側極限 (a-0) のような記号と紛らわしい、と考えているのでしょうか。

私はむしろ「2+0」のような式をはさむ方がわかりやすいだろうと思い、 そのように正答例を書いていますが、どちらでも結構です。
(05/17 2011)

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Q.23. 弧度法のπとは円周率のことなのか

A.23.

ええ、そうです。

数学で、円周率以外でπという記号が使われることも、ごくまれにありますが (平面の名前としてπを使っているのを見たことがあります)、 逆にまぎらわしいので円周率以外の意味にはほとんど使いません。

180度はπラジアンですが、 これはほぼ 3.14ラジアンであることを意味しています。 そもそも「ラジアン」は、半径 1 の円の弧の長さに対応する中心角、 という定義なので、180度は、半径 1 の円の中心角 180度に対する弧の長さ、 すなわち 2π/2 = π (= 3.14...) ラジアン、 という角になるわけです。 このような理由で角度に「円周率π」が入ってくるわけです。

逆に、「1 ラジアン」というと、これは半径 1 の円の 1 という円弧に対する中心角になりますが、 半径 1 の円の円周は 2π ≒ 6 なので、全円の 1/6 弱、 つまり 360/6 = 60度弱の角度ということになります。 実際には、1 ラジアン = 180/π = 180/3.14... ≒ 57.2度位となります。
(05/16 2014)

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Q.24. log の書き方がおかしい

A.24.

これは、以下の 11 ページ目に書いた書き方の話だと思います。

詳しくは上記の資料を見てください。

なお、アンケートには「そのような書き方は考えられない」 などと書いてありましたが、なぜでしょう。 なぜ高校で学んだことが正しいと思い、 大学で学んだことは間違いだと思うのでしょうか。

批判精神を持つことは大事だと思いますが、 大学の講義の教員の言うことは間違っていると思うのであれば、 大学で学ぶ必要はないのではないかと思います。
(09/26 2014)

追加で、教科書のような書き方は、絶対にだめですか、 という質問も今年 (2016) ありました。 自分のノートに書く場合であれば、 どのような記号で書くかはその人の自由で、 私がどうこう言える話ではありません。

しかし、テストの答案などで書く場合は、 それは減点される可能性もある、ということになりますかね。

テストの答案は人に見せるものです。 よって、書き手は見る人がはっきりわかる、 あいまいでない書き方をする必要があります。 それができていなければ減点対象となるでしょうし、 教えた書き方ができていなければ 教えたことが身についていないと判断されても仕方ないと思います。

印刷物をまねてそのように書くのは、必ずしも正しいことではありません。 日本の印刷物では明朝体が使われていますが、 それは手書きの漢字とはかなり違います。 それと同様の話だと思います。
(12/07 2016)

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Q.25. 教員が屁理屈すぎる

A.25.

大学教員は研究者ですから、普段は理屈だけで物事を考えています。 だから、学生の皆さんよりも理屈がちなのは自然だろうと思います。 そういうもんだと思ったらいかがでしょうか。
(09/26 2014)

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Q.26. 静かすぎる/多少雑談を入れろ

A.26.

退屈な人はそう思うのかもしれませんが、 講義は演芸場のように笑いに集まる場所ではなく、 勉強したい人が真剣に勉強する場です。 静かに越したことはありません。 大学で優先すべきは勉強したい人で、 退屈な人に合わせるつもりはありませんし、 雑談を入れることで私語をしてもいいような雰囲気を作りたいとも思いません。
(09/26 2014)

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Q.27. 答えのプリントの解説がもう少し欲しい

A.27.

一応思いつく解説、注意点等は書いているつもりです。 これでもわからないところがあれば、 教育センター、教員等に直接聞いてください。
(05/31 2016)

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Q.28. 重解とはどういう意味ですか

A.28.

2 次方程式の 2 つの解が重なって 1 つになった状態の解を「重解」と言います。 判別式が 0 の場合で、因数分解して (x-a)2=0 の形になる場合、 x=a が重解です。

なお、3 次以上の方程式では、 3 つの解が重なる「3 重解」というものもあります。 一般に、f(x)=0 という n 次方程式で、 f(x)(x-a)k (k≦n) を因数に持つ場合に、 x=a のことを「k 重解」と言います。
(05/31 2016)

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Q.29. 「函数」は「関数」のことですか

A.29.

そうです。詳しくは以下をご覧ください。


(05/31 2016)

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Q.30. 授業中トイレに行く場合は何も言わずに出ていってもよいか

A.30.

以下をご覧ください。


(12/07 2016)

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Q.31. エアコンが寒い

A.31.

以下をご覧ください。


(12/07 2016)

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Q.32. 演習の時間かなりうるさい場合がある

A.32.

担当教員と話をして、その指示に従ってください。

一般的に、相談することは悪いことではないかもしれませんが、 他人の人の迷惑になるのは悪いことでしょう。 必要以上にうるさくなってはいけないと思います。
(12/07 2016)

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Q.33. P の下に横線を引いている理由は

A.33.

基本的に、小文字と区別するためです。詳しくは以下をご覧ください。


(12/07 2016)

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Q.34. 工学を学びに来た学生以外は来るのは無駄なのか

A.34.

これは、もう少し詳しく説明すると、 「工学を学びに来た学生以外は来るのは無駄、 早くやめて進路を考え直した方がいい」 と私が授業中に言った、ということに関して 「やりたいことがまだ見つからず、 やりたいことを探しに来た人も来るのは無駄、ということか」 という質問です。

まず、私は確かにおおむね

「工学を学びに来た学生以外は来るのは無駄」
といったことを言いましたが、私はそもそも「工学」を教えていません。 正しくは、授業中に寝ている、 あるいはノートも取らずに座っているだけの学生に対して、
「学問を学ぶ努力をせず、単位を取る努力もせず、 寝ているだけ、座っているだけの人は大学に来るのは無駄。 大学をやめて早く社会に出た方がいいのではないか。 君達は大学に工学を学びに来たのではないのか、 そしてエンジニアになるために来たのではないのか。」
と言ったつもりです。 後半と前半がごちゃごちゃになってしまったのかもしれませんね。

なお、これが自分のこと、すなわち 「やりたいことを探しに来て、今ちゃんと勉強をしている人」 が進路を考え直した方がいいのでは、と聞こえるのだとしたら、 それはそういう悩みが潜在的にあるのかもしれません。 もし、そういう悩みがあるのなら、 学生相談室などを利用するといいかもしれません。
(12/07 2016)

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Q.35. 高校で数学 III を習っていないが すららや予習復習だけでついていけるか

A.35.

基礎数理 I(b) は、高校の数学 III の話までいきませんので、 数学 III をやっているかどうかは関係ありません。 その手前までの部分を確実にすることが基礎数理 I(b) の主な目標です。

よって、その部分で、 「自分に不足している部分をちゃんと補う意欲」があれば、 基礎数理 I(b) の講義には十分ついていけると思います。 すららや予習、復習をちゃんとやってください。

逆に、数学 III を習った学生であっても、 復習する気持ちがない学生は、高校で学んだ内容を忘れていく一方なので、 結局単位を落としてしまうことになります。
(04/26 2017)

なお、「知らない、習っていない、忘れた」というのは大学では できないことのいいわけにはなりません。 知らないのは今知ればいいので知らないからできなくていい、とはいきません。 各科目のシラバスにも予習・復習を 1 時間やれとか書いてありますが、 その時間に知らないことを自分で調べる、教育センターで質問するなどして、 知るための努力をする必要があります。
(04/27 2017)

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Q.36. ノートは計算と板書を分けた方がよいか

A.36.

「よい」かどうかは私にはあまりよくわかりません。多分、

を優先すればいいのだろうと思いますので、 そういう風に判断してみたらいかがでしょうか。

ちなみに、私は特に分けてはいません。

なお、ノートをあまり取らずに講義を聞いている人もいるようですが、 最初の講義の際に紙で配布したように、 最低限板書したこと位はノートを取ってください。 ノートを取らずに講義を受けている人は、 最初から単位も授業料も捨てているようなものだと思います。 また、これも最初の講義のときにお話ししましたが、 最初から覚える気のない姿勢、聞く気のない姿勢で人の話を聞くのは、 大人として失礼な態度で、社会に出たら許されないことだと思います。
(04/26 2017)

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Q.37. 傾きはなぜ (y の変化)/(x の変化) で求まるのか

A.37.

何か理屈があるのか、またはこういうものと覚えるべきか、 という質問のようですが、もちろん理屈はありますし、 そしてそう覚えるべきものだと思います。

傾きとは、斜めの度合いを数値で表現したもので、 一つの数で表現するために、 横幅 (水平距離) 1 に対する高さの変化で表現したものです。

だから、右に 2 動いたときに上に 6 上がる傾きは、 右に 1 動いたときに上に 3 上がる傾きと同じですから傾きは 3、 右に 4 動いたときに下に 3 下がる傾きは、 右に 1 動いたときに下に 3/4 下がる傾きと同じですから傾きは -3/4、 となります。 いずれも比例、あるいは相似の計算で、 それで傾きが (y の変化)/(x の変化) で求まるわけです。

交通標識にも、5% のように傾斜を % 表示するものがありますが、 あれも水平距離に対して高さがどれくらいの割合で増えるか減るかを 表すものがありますが、原理は同じです。

ついでに言えば、傾きは横が 1 のときの高さなので、 傾斜角θに対する tanθ で求められますし、 また傾きを「(y の変化)/(x の変化)」で求める考え方は、 微分のところでも重要です。
(04/26 2017)

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Q.38. 復習問題が最後までいかない

A.38.

問題を解く速度は個人差がありますので、仕方がないでしょう。 最初に話したように、

が目標 (そしてそれを自分で確認することが目的) なので、 とりあえずは時間内に終わらなくても結構です。 ただ、解かなかった問題も、あとで時間を見つけてやっておいてください。
(04/26 2017)

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Q.39. 工学部では三角関数をどういうところで使うのですか

A.39.

詳しく知っているわけではないですが、知ってる範囲で書きます。

三角関数の使われ方を分類すると、以下の 3 通りがあると思います。

  1. 図形の辺と角に対する応用
  2. 回転運動や方位の表現
  3. 周期的な単振動の性質と波の表現

1 つ目は、高校の数学 I の「三角比」で習う内容の応用で、 正弦定理、余弦定理、面積公式などを用いて、 長さや面積の計算に使われます。 工学では、土木・建築分野の測量、建物や機械の設計、 あるいは物理・化学分野の分子模型の計算などに使われると思います。

2 つ目は、「一般角の三角関数」の定義に関係するもので、 中心角θの単位円周上の点の座標は (cosθ, sinθ) となりましたが、 それを半径を r の円にすると円周上の点は (rcosθ, rsinθ) となり、 これは円周上を回転する物の位置を表したり、 平面上の点の位置を距離と方位で表したりするのに使われます。 それは、ロボットのアームのようにある場所を中心として回るものの位置、 エンジンなどの回転運動などで使われています。 さらに複素数の表現に使われたり、 3 次元に拡張した「極座標」によって コンピュータグラフィックスでの座標の回転の計算や、 軸対称な物体を解析する際の座標表現などにも応用されています。

3 つ目は、「三角関数のグラフ」と関係していて、 三角関数の周期的に振動する様子が単振動や波を表現することによる応用です。 交流電源のように、直接それが三角関数の波になる応用例もありますが、 複雑な波を単純な三角関数の重ね合わせで表現する 「フーリエ解析」という手法などにより、 音や電波などの様々な波の分解・合成、光や X 線などによる解析、 建物や構造物の振動の解析などの分野で応用されています。

スマートフォンや携帯電話では、 電波による通信や、音声と電気信号の変換などで頻繁にそれらが行われていて、 実は皆さんの身近なところで常に三角関数が応用されている、 といっていいでしょう。

参考文献:


(05/12 2017)

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Q.40. 授業中の問などは学生を指名して答えさせたらどうか

A.40.

確かにそういう手法もありますが、 私はそうはせず、私の方で正答例を紹介するようにしています。 指名して答えさせる手法の利点と、 それに対する批判と、欠点をあげてみましょう。 なお、いずれもあくまで私の意見です。

最初に配った 「大学の講義について」 にも書いたように、 大学の講義は授業中にすべてを理解することを求めてはいません。 私が学生の頃も、講義時間中には内容の理解などは全くできませんでした。 だから講義時間外の学習や、あるいは演習などを通じて、 自分で理解する努力をする必要があります。

逆に言えば、授業中には理解できなくても全く構わなくて、 授業後に復習や演習を行い、それで理解できればそれでいいわけです。 問題を訓練する場としては、この講義には別に演習の時間が用意されていますし、 すららという自習システムもあるため、 講義では本来は問題演習をする必要もないくらいです。 それらを活用して理解してください。

なお、「指名したら」というのは まだ高校までの受け身の学習法から抜けだせていないような気がします。 させられて勉強するような受け身の勉強からは早く脱却し、 自分の努力で理解する能動的な勉強方を身につけてください。

また、自分の意見や質問を話す場が欲しいのであれば、 手を上げて質問などをしてもらっても結構ですし、 時間外に質問してもらうことも可能です。
(05/23 2017)

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Q.41. テストの勉強は、ノート、教科書、プリントの どれを中心にやればよいか

A.41.

よく意味がわからないのですが、 ノートや教科書やプリントは別々に勉強する、 といったものではないと思います。 教科書とノートは一緒に突き合わせながら見るでしょうし、 問題のプリントを問いたり見直したりするときも教科書やノートを見るでしょう。 どれかだけを中心にやるといったものではないと思います。

また、テストの問題としてどういう問題がでるか 今回の小テストでだいたい想像ができたでしょうから、 それに合わせて勉強すればいいんじゃないでしょうか。
(05/24 2017)

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Q.42. logLog と書いていいか

A.42.

大文字を使うと、別の意味 (対数の主値) を表す場合がありますので、 そう書かないでください。
(06/15 2017)

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Q.43. 22-x22/2x になるのがよくわからない

A.43.

教科書にある指数法則 ax-y=ax/ay そのままです。
(07/07 2017)

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Q.44. テストの返却はその何回後の講義になるのか

A.44.

特に決まっていません。 ただ、当然採点が終わらなければ返却はできませんので、 テストのすぐ次の週には返却できないことが多いです。

なお、すべての講義でテストの答案を返却するとは限りません (返却の義務はありません)。 私が答案を返却しているのは、 どこが間違えているか、正しくはどうなるかを確認してもらうためです。 そうしなければ、ずっと間違えたままになってしまうからです。
(07/07 2017)

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Q.45. 平方根の四則演算のやり方がわからない

A.45.

「どのような点がわからないのか」や、 「どういう問題をどのように間違えるのか」 がわからないとこちらとしてもアドバイスができないので、 是非、教育センターで、あるいは私に質問してみてください。 その際、「どういう問題をどのように間違える」 ような例を持参するとなおいいでしょう。
(04/20 2018)

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Q.46. 1/√2 はテストでは √2/2 としないといけないか

A.46.

これは、三角関数の値の話だと思いますが、 「三角関数の値を求めよ」という問題であれば、 そして「答えの分母を有理化して答えること」のような指定がなければ、 1/√2√2/2 には式の簡潔さという点では優劣は特になく、どちらでも構いません。

一般に、「計算をせよ」「簡単にせよ」などの問題で、 あるいは計算によって得られる式は、 どこまで式変形をしなければいけないのか、という点については、 特に数学の世界でハッキリしたきまりがあるわけではありませんので、 採点する人によってその基準は異なる可能性があります。

私の個人的な意見、基準としては、 以前同様の質問に対する回答を以下にも書きましたので、 そちらも参考にしてみてください。


(05/15 2018)

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Q.47. 小テストは中間テストか

A.47.

大学は、最後の期末試験はすべての科目で一斉に行う日程を取ってありますが、 高校とは違い、すべての科目で一斉に行う「中間テスト」というものはなく、 それぞれの科目で適宜テストやレポートなどを課します。

この科目の小テストも、 最初にガイダンスのところで話したように今は 2 回行っていますし、 講義の最初の 40 分だけ行いますので、 「中間テスト」という名前よりも「小テスト」という名前の方が 適切かと思います。
(05/16 2018)

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Q.48. 余弦定理の三角形の向きには意味があるか

A.48.

直角三角形を書いて sin, cos, tan を求めるときは、 右下に直角、左下に角θを持ってこないといけない、 と言いましたが、あれは sin, cos, tan の覚え方と関連しています。

一方、余弦定理の方は、特にそういう意味はありませんので、 三角形の向きはどういう向きでも結構です。 逆にどれかの角を固定して考える定理ではなく、 どの角にも使える定理なので、 どのような向きでも正しく使えるようにしておく方がいいでしょう。
(05/16 2018)

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Q.49. 倍角、半角の公式の覚え方は

A.49.

三角関数の加法定理には、 「咲いた」「コスモス」という覚え方があるようですが、 私はあまりいい覚え方だと思いません。 といって、他のいい覚え方も知りません。 これについては、以下にも多少書きました。

一方、倍角の公式、半角の公式は、加法定理さえ知っていれば、 そこから容易に導くことができます。 だから、これらは「公式として覚える」よりも 「加法定理から導く」方法を知っておく方がいいでしょう。

sin の倍角の公式は、 sin 2α = sin(α+α) のようにして加法定理を使えば

sin 2α = sin(α+α) = sinαcosα + cosαsinα = 2sinαcosα
と得られますし、cos の倍角は、 さらに cos2α + sin2α = 1 も使って変形すれば、
cos 2α = cos(α+α) = cosαcosα - sinαsinα = cos2α - sin2α  ...(1)
= cos2α - (1 - cos2α) = 2cos2α - 1  ...(2)
= 2(1 - sin2α) - 1 = 1 - 2sin2α  ...(3)
と 3 種類の形の式が得られます。

半角の公式は、この最後の (2), (3) の式を使って、

2cos2α - 1 = cos2α より、   2cos2α = 1 + cos2α、   よって cos2α = (1 + cos2α)/2
1 - 2sin2α - 1 = cos2α より、   2sin2α = 1 - cos2α、   よって sin2α = (1 - cos2α)/2
として得られます。 なお、これらをさらに 2α=β として平方根を取った形
cos(β/2) = ±((1 + cosβ)/2)1/2,   sin(β/2) = ±((1 - cosβ)/2)1/2
のことを半角の公式と呼ぶこともあります (むしろその方が多いかも)。
(06/06 2018)

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Q.50. 2 重のかっこの場合、中かっこを使わなくていいのか

A.50.

これは、例えば「2×(3+5×(4−3))」のような場合に、 「2×{3+5×(4−3)}」と書かないといけないのでは、 という話ですが、結論から言えばどちらでも結構です。

2 重以上のかっこは、その対応をみやすくするために、 3 種類のかっこ ( ), { }, [ ] を使い分けて書く、 ということが中学校あたりから行われているかと思いますが、 じゃあ 4 重以上かっこはどうしたらいいのか、という問題もありますし、 特定のかっこは特別な意味を持って使われる場合もあります。

かっこが良く使われる数式では、むしろかっこの使い分けをせずに 最初から ( ) だけで書くことが多いです。 よって、多少見分けにくくはなりますが、 普段から 2 重程度でも ( ) だけで書いて結構です。 もちろん { } 等と書き分けても結構です。 そのかっこの対応を間違えずに書けていれば問題ありません。

なお、日本の初等教育で良く言われる、 ( ) = 小かっこ、{ } = 中かっこ、[ ] = 大かっこ、 という表現は、実は必ずしも万国共通の言い方ではありません。 詳しくは、以下の 3 節をご覧ください。


(06/13 2018)

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Q.51. 学生証による出欠システムがうまく認識されない

A.51.

システムや履習登録に関する質問は、学務課に行ってください。
(04/24 2019)

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Q.52. 少し話が早い/進度が早い

A.52.

「大学の講義について」 というパンフレットにもまとめていますが、 大学の講義は基本的に進度が早いですから、 授業中の話をすべて理解しようという姿勢は、 極端に言えば誤りです。 聞きもらしたり、理解できないまま進んでしまうことは、 大学の講義では普通にあることです。

よって、ノートにとりあえず取っておいて、 あとで自分で理解する時間を取ることが必要です。 逆にノートも取らずに聞いているとしたら、 それは大学の単位を最初から捨てているようなものでしょう。 取れなくても文句は言えません。
(04/24 2019)

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Q.53. 前期の範囲はどこまでなのか

A.53.

シラバス (講義概要) を参照してください。
(04/24 2019)

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Q.54. 問題を解く時間がもっと欲しい

A.54.

解く時間が、復習問題のことであれば、 「Q.38. 復習問題が最後までいかない」 を参照してください。

授業中に適宜出している問題のことであれば、 これも上とほぼ同じで、 問題を解く速度は個人差がありますし、 またあまり問題に時間を取れないので、 ある程度はしかたないです。

例えば、終わらなかったものはとりあえずそのままにしておいて、 正答は別にノートを取っておいて、 授業の後にでも時間を取って終わらなかったものを自分で問いてみて、 答え合わせをしてみたらどうでしょうか。
(06/14 2019)

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Q.55. 90°sin, cos, tan の求め方は

A.55.

90°の整数倍の三角関数の求め方は、三角形は書けないので、 既に説明しましたが、一般角に対する計算方法で求めます。

  1. 単位円を使う方法

    単位円周上の点では (x, y) = (cosθ, sinθ) なので、 90° の整数倍でも簡単に求められます。 例えば (cos90°, sin90°) = (0, 1) となります。 tan は、その半径は x=1 にぶつからないので、 tan90° の値はありません。

  2. x/r, y/r, y/x を使う方法

    この場合も三角形は書けないのですが、 cosθ=x/r, sinθ=y/r, tanθ=y/x で求めることができます。

    例えば 90° の場合は y 軸上に点を取ればいいので、 (x, y) = (0, 1) と取ります。 当然 r = 1 となりますから、 よって、cos90°= x/r = 0/1 = 0, sin90°= y/r = 1/1 = 1 となります。 tan は、y/x = 1/0 となってしまいますので、 値はなしです。

この他に、以下のような手もあります。

  1. y=cos x, y=sin x のグラフを思い出す

    90° の整数倍はグラフの特徴点で値も思い出しやすいはずです。

  2. 三角形の極限で考える (90°, の場合)

    90° の整数倍のうち、90°, の場合は、 直角三角形は直接書けませんが、 三角形の極限で考えるという手もあります。

    89° のように 90° に近い角を左下に持つ 直角三角形を考えると、すごく背の高い直角三角形になり、 よって y ≒ r, r ≫ x (xr に比べて非常に小さい)、 y ≫ x となるので、 cosθ = x/r ≒ 0, sinθ = y/r ≒ 1, tanθ = y/x ≒ ∞ となります。

    一方、 のように に近い角を左下にすると、 逆にすごく背の低い直角三角形となるので、 x ≒ r, r ≫ y, x ≫ y となり、よって、 cosθ = x/r ≒ 1, sinθ = y/r ≒ 0 tanθ = y/x ≒ 0 となることが納得できるでしょう。


(06/14 2019)

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Q.56. 正答例の計算の途中は省略してよいか

A.56.

具体的には、以下の板書例に対しての質問で、

(64 の三乗根) = 641/3 = (26)1/3 = 26×(1/3) = 22 =4
の計算のうち、 「641/3」と 「26×(1/3)」は省略してよいか、 という質問でした。

黒板での説明は、「説明」のために普通は書かなくてもいいようなことを 書いていることがありますから、 「どういう方法で計算をしているかがわかる答案であれば」 ある程度は省略しても構いません。 例えば、上の 2 つで言えば、 確かに省略しても構わないと思います (特に後者は)。

すべての計算例に対していちいちどれを省略してもいい、 と説明するわけにはいきませんが、 基本的には 「どういう方法で計算をしているかを採点者に示す答案を書く」 のが原則です。 カンで答を書いて、それがたまたま当たったというのは、 当然 0 点です。 我々は授業で教えた内容を理解して、 それがちゃんと身についたかどうかを知るためにテストをしています。 だから、答案でそれを示す必要があるわけです。
(06/14 2019)

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作成日: 06/14 2019
竹野茂治@新潟工科大学 (shige@iee.niit.ac.jp)