5 原始関数のラプラス変換

もう一つ、ラプラス変換の単射性を示すために利用する、 原始関数のラプラス変換の公式

$$\mathcal{L}\left[\int_0^x f(t)dt\right](s) = \frac{1}{s}\,\mathcal{L}[f](s) \hspace{1zw}(s>0)$$ (22)

を本節で示しておく。なお、$f(x)$ は $IPC$、$IPR$, $ILM$ の いずれかであるとし、よって $\mathcal{L}[f]$ は、 3 節の結果により $s>0$ で存在する。

まずは、$f(x)\in IPC$ の場合を考える。 この場合は、通常の証明と同じだが、一応示す。 以後、本節を通して

$$F(x) = \int_0^x f(t)dt$$ (23)

とする。 $f(x)\in IPC$ より、$F(x)$ は連続、$F(0)=0$ で、$F(\infty)$ も存在し、 よって $F(x)$ は有界で、$s>0$ に対し、

	$${\mathcal{L}[F(x)](s) \ =\ \int_0^\infty F(x)e^{-sx}dx \ =\ \lim_{M\rightarrow \infty}{\int_0^M e^{-sx}dx\int_0^x f(t)dt}}$$
		$=$	$$\lim_{M\rightarrow \infty}{\int_0^M f(t)dt\int_t^M e^{-sx}dx} \ =\ \frac{1}{s}\lim_{M\rightarrow \infty}{\int_0^M f(t)(e^{-st}-e^{-sM})dt}$$
		$=$	$$\frac{1}{s}\lim_{M\rightarrow \infty}{\left\{\int_0^M f(t)e^{-st}dt - e^{-sM}F(M)\right\}}$$	(24)

となるが、仮定、および定理 3 より

$$\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt = \mathcal{L}[f](s), \hspace{1zw}F(\infty)$$

は存在するので、(24) の極限も存在し $\mathcal{L}[f](s)/s$ となるので、 これで $f(x)\in IPC$ の場合は (22) が示された。

次は $f(x)\in ILM$ の場合を考える。 この場合、仮定より、

$$\int_0^\infty \vert f(x)\vert dx < \infty$$

であり、また

$$\int_0^\infty \vert e^{-sx}\vert dx <\infty$$

であるから、定義関数 $\chi_A(t)$ を

$$\chi_A(t) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & (t\in A),\\ 0 & (t\not\in A) \end{array}\right.$$ (25)

とすると、

$$F(x) = \int_0^x f(t)dt = \int_0^\infty f(t)\chi_{[0,x]}(t)dt$$

なので、フビニの定理により、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mathcal{L}[F(x)](s) \ =\ \int_0^\infty e^{-sx}dx\i... ...{1}{s}\,e^{-st}-0\right)dt \ =\ \frac{1}{s}\,\mathcal{L}[f](s)\end{eqnarray*}$$

となって (22) が成り立つ。 これで $f(x)\in ILM$ の場合も (22) が示された。

最後は $f(x)\in IPR$ の場合。 この場合、リーマン広義積分に対し、積分の順序交換が成り立つかを 丁寧に吟味する必要がある。 $f(x)$ の除外集合を $\{a_n\}_{0\leq n\leq N}$, $a_{N+1}=\infty$, および (3) の $b_n$ を取る。

補題 6 (リーマン広義積分での順序交換)

$0\leq n\leq N$ に対して、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_{a_n}^{a_{n+1}} e^{-sx}dx\int_{a_n}^x f(t)dt \ =... ...st}dt -\,\frac{1}{s}\,e^{-sa_{n+1}}\int_{a_n}^{a_{n+1}} f(t)dt \end{eqnarray*}$$

が成り立つ。

証明

(15), (16) を 利用する。積分を分けて、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_{a_n}^{a_{n+1}} e^{-sx}dx\int_{a_n}^x f(t)dt \ =... ...^{a_{n+1}}e^{-sx}dx\int_{b_n}^x f(t)dt \\ &=& I_1 + I_2 + I_3 \end{eqnarray*}$$

とすると、$I_1$ は

$$I_1 = \frac{1}{s}(e^{-sa_n}-e^{-sa_{n+1}})\int_{a_n}^{b_n}f(t)dt$$

で、$I_2$, $I_3$ には $f\in IPR$ より (15), (16) を 適用すれば、

$$\begin{eqnarray*}I_2 &=& \frac{1}{s}\int_{a_n}^{b_n}f(t)e^{-st}dt -\,\frac{1}... ...-st}dt -\,\frac{1}{s}\,e^{-sa_{n+1}}\int_{b_n}^{a_{n+1}}f(t)dt \end{eqnarray*}$$

となる。よってこれらを合わせれば、

$$I_1+I_2+I_3 = \frac{1}{s}\int_{a_n}^{a_{n+1}}f(t)e^{-st}dt -\,\frac{1}{s}\,e^{-sa_{n+1}}\int_{a_n}^{a_{n+1}}f(t)dt$$

となって、補題 6 の最後の式が得られる。

この補題を用いて、$f\in IPR$ のときの (22) を示す。

この場合も、(23) の $F(x)$ は連続、$F(+0)=0$ で、 $F(\infty)$ は存在し、よって $F(x)$ は有界となり、$s>0$ で $F(x)$ の ラプラス変換は存在する。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mathcal{L}[F(x)](s) \ =\ \int_0^\infty F(x)e^{-sx}... ...+ \sum_{n=0}^N\int_{a_n}^{a_{n+1}} e^{-sx}dx \int_{a_n}^x f(t)dt\end{eqnarray*}$$

と分け、

$$\begin{eqnarray*}I_{n,k} &=& \int_{a_n}^{a_{n+1}} e^{-sx}dx \int_{a_k}^{a_{k... ...n+1}} e^{-sx}dx \int_{a_n}^x f(t)dt \hspace{1zw}(0\leq n\leq N)\end{eqnarray*}$$

とすると、

$$I_{n,k} = \int_{a_n}^{a_{n+1}} e^{-sx}(F(a_{k+1})-F(a_k))dx =\frac{1}{s}(e^{-sa_n}-e^{-sa_{n+1}})(F(a_{k+1})-F(a_k))$$

であり、よってその和は、$F(a_0)=F(0)=0$ より、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \sum_{n=1}^N\sum_{k=0}^{n-1}I_{n,k} \ =\ \frac{1}... ...=\ \frac{1}{s}\sum_{n=1}^N(e^{-sa_n}F(a_n)-e^{-sa_{n+1}}F(a_n))\end{eqnarray*}$$

となる。 一方、$J_n$ は補題 6 より 積分の順序交換ができて、

$$\begin{eqnarray*}J_n &=& \int_{a_n}^{a_{n+1}} f(t)dt\int_t^{a_{n+1}}e^{-sx}dx ... ...} f(t)e^{-st}dt -\,\frac{1}{s}\,e^{-sa_{n+1}}(F(a_{n+1})-F(a_n))\end{eqnarray*}$$

となるので、その和は

$$\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^NJ_n &=& \frac{1}{s}\sum_{n=0}^N\int_{a_n}^{a_{n+1... ...}^{N+1}e^{-sa_n}F(a_n) -\sum_{n=0}^N e^{-sa_{n+1}}F(a_n)\right\}\end{eqnarray*}$$

となる。よって、合計すると、

$$\begin{eqnarray*}\mathcal{L}[F(x)](s) &=& \sum_{n=1}^N\sum_{k=0}^{n-1}I_{n,k} ... ...c{1}{s}\,e^{-sa_{N+1}}F(a_{N+1}) +\,\frac{1}{s}\,e^{-sa_1}F(a_0)\end{eqnarray*}$$

となるが、 $a_{N+1}=\infty$, $a_0=0$ より $e^{-sa_{N+1}}=0$, $F(a_0)=0$ となるので、これで $IPR$ の場合も (22) が 成り立つことがわかった。

定理 7 (原始関数のラプラス変換)

$f$ が $IPC$, $IPR$, $ILM$ のいずれかの元であれば、 $s>0$ に対し (22) が成り立つ。