9 微分のラプラス変換による漸化式

5 節で、微分のラプラス変換の公式を利用した計算を紹介したが、 それと同様にして F_k , G_k の漸化式を導く、という方法もある。 それをここで紹介しよう。

k $\geq$ 1 に対して

(t^ksin t)' = kt^k-1sin t + t^kcos t

であるので、これをラプラス変換すると

$$\mathcal {L}$$[(t^ksin t)'] = k$$\mathcal {L}$$[t^k-1sin t] + $$\mathcal {L}$$[t^kcos t]

となる。この左辺は、(10) により、

$$\mathcal {L}$$[(t^ksin t)'] = s$$\mathcal {L}$$[t^ksin t] - 0 = sF_k

となるので、よって

$$\geq$$ (10)

が成り立つ。同様に、

(t^kcos t)' = kt^k-1cos t - t^ksin t

より、

$$\geq$$ (11)

が成り立つので、(11), (12) より

$$\left[\vphantom{\begin{array}{cc}s & -1 1 & s\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc}s & -1 1 & s\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{cc}s & -1 1 & s\end{array}}\right]$$$$\left[\vphantom{\begin{array}{c}F_k G_k\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c}F_k G_k\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c}F_k G_k\end{array}}\right]$$ = k$$\left[\vphantom{\begin{array}{c}F_{k-1} G_{k-1}\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c}F_{k-1} G_{k-1}\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c}F_{k-1} G_{k-1}\end{array}}\right]$$

となり、よって

$$\left[\vphantom{\begin{array}{c}F_k G_k\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c}F_k G_k\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c}F_k G_k\end{array}}\right]$$ = $${\frac{{k}}{{s^2+1}}}$$$$\left[\vphantom{\begin{array}{cc}s & 1 -1 & s\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc}s & 1 -1 & s\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{cc}s & 1 -1 & s\end{array}}\right]$$$$\left[\vphantom{\begin{array}{c}F_{k-1} G_{k-1}\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c}F_{k-1} G_{k-1}\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c}F_{k-1} G_{k-1}\end{array}}\right]$$

が得られる。今、 U_k = ^t(F_k, G_k) とし、右辺の行列を A とすると この行列は k にはよらず、

$${\frac{{k}}{{s^2+1}}}$$ (12)

となるので、

U_k = $${\frac{{k}}{{s^2+1}}}$$AU_k-1 = $${\frac{{k(k-1)}}{{(s^2+1)^2}}}$$A²U_k-2 = ^... = $${\frac{{k!}}{{(s^2+1)^k}}}$$A^kU₀

となる。ここで、U₀ は

U₀ = $${\frac{{1}}{{s^2+1}}}$$$$\left[\vphantom{\begin{array}{c}1 s\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c}1 s\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c}1 s\end{array}}\right]$$

なので、よって

$$\left[\vphantom{\begin{array}{c}F_k G_k\end{array}}\right. \begin{array}{c}F_k G_k\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c}F_k G_k\end{array}}\right] {\frac{{k!}}{{(s^2+1)^{k+1}}}} \left[\vphantom{\begin{array}{cc}s & 1 -1 & s\end{array}}\right. \begin{array}{cc}s & 1 -1 & s\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{cc}s & 1 -1 & s\end{array}}\right]^{k}_{} \left[\vphantom{\begin{array}{c}1 s\end{array}}\right. \begin{array}{c}1 s\end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c}1 s\end{array}}\right]$$ (13)

となり、この行列のベキを計算すれば F_k , G_k が求まることになる。 ただし、これもやはり順番に計算しないといけないので、 それほど楽ではない。

また、この (13), (14) より、

$$\hat{{U}}_{k}^{}$$ = $$\left[\vphantom{\begin{array}{c}\hat{F}_k \hat{G}_k\end{array}}\right.$$$$\begin{array}{c}\hat{F}_k \hat{G}_k\end{array}$$$$\left.\vphantom{\begin{array}{c}\hat{F}_k \hat{G}_k\end{array}}\right]$$ = $${\frac{{(s^2+1)^{k+1}}}{{k!}}}$$U_k

とすれば、係数に k の含まれない漸化式

$$\hat{{U}}_{k}^{}$$ = A$$\hat{{U}}_{{k-1}}^{}$$   (k $$\geq$$ 1)

が得られる。ここで、いわゆるケーリー・ハミルントンの関係式より

A² = (a + d )A - (ad - bc)E = 2sA - (s² + 1)E

が成り立つので、k $\geq$ 2 に対し、

$$\hat{{U}}_{k}^{}$$ = A²$$\hat{{U}}_{{k-2}}^{}$$ = 2sA$$\hat{{U}}_{{k-2}}^{}$$ - (s² +1)E$$\hat{{U}}_{{k-2}}^{}$$ = 2s$$\hat{{U}}_{{k-1}}^{}$$ - (s² +1)$$\hat{{U}}_{{k-2}}^{}$$

が得られる。 この最後の式は、行列計算を必要としない 3 項漸化式となっていて、

$$\hat{{F}}_{k}^{} \hat{{F}}_{{k-1}}^{} \hat{{F}}_{{k-2}}^{} \hat{{G}}_{k}^{} \hat{{G}}_{{k-1}}^{} \hat{{G}}_{{k-2}}^{}$$ (14)

を意味する。この式と初期値

$$\hat{{F}}_{0}^{} \hat{{G}}_{0}^{} \hat{{F}}_{1}^{} \hat{{G}}_{1}^{}$$ (15)

から順に $\hat{{F}}_{k}^{}$ , $\hat{{G}}_{k}^{}$ を求めることができる。 例えば F₅ を計算してみると、

$$\hat{{F}}_{2}^{} \hat{{F}}_{1}^{} \hat{{F}}_{0}^{}$$ =

$$\hat{{F}}_{3}^{} \hat{{F}}_{2}^{} \hat{{F}}_{1}^{}$$ =

$$\hat{{F}}_{4}^{} \hat{{F}}_{3}^{} \hat{{F}}_{2}^{}$$ =

$$\hat{{F}}_{5}^{} \hat{{F}}_{4}^{} \hat{{F}}_{3}^{}$$ =

= 2s(3s⁴ -10s² + 3)

となるので、よって、

F₅ = $${\frac{{5!}}{{(s^2+1)^6}}}$$$$\hat{{F}}_{5}^{}$$ = $${\frac{{240s(3s^4-10s^2+3)}}{{(s^2+1)^6}}}$$

となることになる。 ただし、(14) の行列計算と比べて、 それほど簡単であるともいい難い。