8 t の k 乗倍のテイラー展開

テイラー展開を利用する方法は、残念ながらあまりうまくはない。 例えば t5sin t の場合、

t5sin t = $\displaystyle {\frac{{t^6}}{{1!}}}$ - $\displaystyle {\frac{{t^8}}{{3!}}}$ + $\displaystyle {\frac{{t^{10}}}{{5!}}}$ - $\displaystyle {\frac{{t^{12}}}{{7!}}}$ + ...

より、
$\displaystyle \mathcal {L}$[t5sin t]
  = $\displaystyle \mathcal {L}$$\displaystyle \left[\vphantom{\frac{t^6}{1!}-\frac{t^8}{3!}+\frac{t^{10}}{5!}
-\frac{t^{12}}{7!}+\cdots}\right.$$\displaystyle {\frac{{t^6}}{{1!}}}$ - $\displaystyle {\frac{{t^8}}{{3!}}}$ + $\displaystyle {\frac{{t^{10}}}{{5!}}}$ - $\displaystyle {\frac{{t^{12}}}{{7!}}}$ + ... $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{t^6}{1!}-\frac{t^8}{3!}+\frac{t^{10}}{5!}
-\frac{t^{12}}{7!}+\cdots}\right]$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{1!}}}$ $\displaystyle {\frac{{6!}}{{s^7}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{3!}}}$ $\displaystyle {\frac{{8!}}{{s^9}}}$ + $\displaystyle {\frac{{1}}{{5!}}}$ $\displaystyle {\frac{{10!}}{{s^{11}}}}$ - $\displaystyle {\frac{{1}}{{7!}}}$ $\displaystyle {\frac{{12!}}{{s^{13}}}}$ + ...  
  = $\displaystyle {\frac{{1}}{{s^6}}}$$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{s}
-\frac{8\...
...cdot 5\cdot 4}{s^3}
+\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{s^5}
-\cdots}\right.$$\displaystyle {\frac{{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}{{s}}}$ - $\displaystyle {\frac{{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}}{{s^3}}}$ + $\displaystyle {\frac{{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}}{{s^5}}}$ - ... $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{s}
-\frac{8\...
...cdot 5\cdot 4}{s^3}
+\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{s^5}
-\cdots}\right)$  

となり、この最後の式のかっこ内は、

$\displaystyle {\frac{{-1}}{{1+X^2}}}$ = - 1 + X2 - X4 + X6 - X8 + ...

を 5 回微分したもの

- $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{1+X^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{{1}}{{1+X^2}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{1+X^2}}\right)^{{(5)}}_{}$ = 6 . 5 . 4 . 3 . 2X - 8 . 7 . 6 . 5 . 4X3 + ...

を使って表わされる。 しかし、左辺の 5 回の微分の計算は、 結局 6 節の t5 倍と見た場合の計算と 同じことをやらなければならないので、 ここから先の計算量はほぼその節の計算と同等である。

竹野茂治@新潟工科大学
2008年3月18日