6 t の k 乗倍の場合

t^ksin t (k $\geq$ 1 ) のラプラス変換も、 今まで紹介した手法で計算できる。 しかし、k = 1 のときはそれほど大変な計算ではなかったが、 少し大きな k 、例えば k = 5 などのような場合には、 方法によっては計算量が大変になるものもある。 実際にどのようになるか見てみることにする。

以後、

F_k(s) = $$\mathcal {L}$$[t^ksin t](s),   G_k(s) = $$\mathcal {L}$$[t^kcos t](s)

と書くことにする。

まず、2 節の多項式倍の方法で考えると、

F_k = (- 1)^k$${\frac{{d^k}}{{ds^k}}}$$$$\mathcal {L}$$[sin t] = (- 1)^k$${\frac{{d^k}}{{ds^k}}}$$$${\frac{{1}}{{s^2+1}}}$$

となるが、これは k が大きいと計算が大変である。

$$\left(\vphantom{\frac{1}{s^2+1}}\right. {\frac{{1}}{{s^2+1}}} \left.\vphantom{\frac{1}{s^2+1}}\right){^\prime} {\frac{{2s}}{{(s^2+1)^2}}}$$ F₁ =

$$\left(\vphantom{\frac{1}{s^2+1}}\right. {\frac{{1}}{{s^2+1}}} \left.\vphantom{\frac{1}{s^2+1}}\right){^\prime}{^\prime}$$ F₂ =

= -2(s² +1)^-2 -2s(- 2)(s² +1)^-3(2s) = - 2(s² +1)^-2 +8s²(s² +1)^-3

$${\frac{{2}}{{(s^2+1)^2}}} {\frac{{8(s^2+1)-8}}{{(s^2+1)^3}}} {\frac{{6}}{{(s^2+1)^2}}} {\frac{{8}}{{(s^2+1)^3}}}$$ =

のようになる。 以下、Y = s² + 1 と書き、 s に関する微分を Y_s = 2s のように書くことにすると、

F₃ = - (F₂)_s = - (6Y^-2 -8Y^-3)_s

= (12Y^-3 -24Y^-4)Y_s = 24s(Y^-3 -2Y^-4),

F₄ = - (F₃)_s = - {24s(Y^-3 -2Y^-4)}_s

= -24(Y^-3 -2Y^-4) - 24s(- 3Y^-4 +8Y^-5)(2s)

= 24(- Y^-3 +2Y^-4 +6s²Y^-4 -16s²Y^-5)

= 24{ - Y^-3 +2Y^-4 +6(Y - 1)Y^-4 -16(Y - 1)Y^-5}

= 24(5Y^-3 -20Y^-4 +16Y^-5),

F₅ = - (F₄)_s = - 24(5Y^-3 -20Y^-4 +16Y^-5)_s

= -24(- 15Y^-4 +80Y^-5 -80Y^-6)(2s)

= 240s(3Y^-4 -16Y^-5 +16Y^-6)

$$\left\{\vphantom{\frac{3}{(s^2+1)^4}-\frac{16}{(s^2+1)^5} +\frac{16}{(s^2+1)^6}}\right. {\frac{{3}}{{(s^2+1)^4}}} {\frac{{16}}{{(s^2+1)^5}}} {\frac{{16}}{{(s^2+1)^6}}} \left.\vphantom{\frac{3}{(s^2+1)^4}-\frac{16}{(s^2+1)^5} +\frac{16}{(s^2+1)^6}}\right\}$$ =

のように計算される。 多少は整理されるものの、計算はかなり大変であることがわかる。