5.3 衝撃波曲線と膨張波曲線

5.1 節で見たように、 $k$-特性方向が線形退化である場合は $k$-接触不連続のみが起こり、 その左右の定数ベクトル $U_l$ と $U_r$ に対しては、 $U_r$ は $U_l$ を通る $r_k(U)$ の積分曲線 ($C_k(U_l)$) 上の点である必要があり、 よってその選択は 1 次元の自由度のみを持つ。

また、$k$-特性方向が真性非線形である場合は、 $k$-膨張波か $k$-衝撃波が起こり、 その左右の定数ベクトル $U_l$ と $U_r$ に対しては、 $U_r$ が膨張波曲線 $R_k(U_l)$ 上にあるか、 $U_r$ が衝撃波曲線 $S_k(U_l)$ 上にあるか、 のみが許される。なお、この $R_k(U_l)$ と $S_k(U_l)$ は、 相空間 $\Omega$ 上でいずれも $U_l$ から出発する半曲線であるが、 実は、それらは綺麗につながることがわかる。

命題 5.1

$k$-特性方向が真性非線形である場合、 $R_k(U_l)$ と $S_k(U_l)$ は $U=U_l$ で $C^2$ で (すなわち 2 階導関数まで連続に) つながる。

証明

補題 4.2 より、$S_k(U_l)$ は、

$$\begin{array}{l} U=\hat{U}_k(\delta)\ (\delta\leq 0),\\ ... ...e{1zw}\hat{U}_k''(0)=(\nabla_U r_k\cdot r_k)(U_l) \end{array}$$

と表される。 一方、$R_k(U_l)$ は $r_k(U)$ の積分曲線であるから それを $U=\check{U}_k(\delta)$ と書けば、それは

$$\check{U}_k'(\delta)=r_k(\check{U}_k(\delta)), \hspace{1zw}\check{U}_k(0)=U_l$$

を満たし、かつ $\lambda_k(U)$ の増加する方向なので、

$$\frac{d}{d \delta}\lambda_k(\check{U}_k(\delta)) =\nabla_U... ...bla_U\lambda_k(\check{U}_k(\delta))r_k(\check{U}_k(\delta))>0$$

より、$\delta >0$ の部分の半曲線となる。 よって、

$$\begin{eqnarray*}\check{U}_k'(0) &=& r_k(U_l),\\ \check{U}_k''(0) &=& \... ...{U}_k'(\delta)\Big\vert _{\delta=0} =\nabla_U r_k(U_l)r_k(U_l) \end{eqnarray*}$$

なので、

$$U=U_k(\delta) =\left\{\begin{array}{ll} \hat{U}_k(\delta)... ...)\\ \check{U}_k(\delta) & (\delta\geq 0) \end{array}\right.$$

とすれば、確かに $C^2$ でつながることがわかる。