5.1 はじめに

3 節、4 節で見てきたように、 保存則方程式

$$U_t+F(U)_x=0$$ (5.109)

は、膨張波、衝撃波、接触不連続といった単純な形の波の解を持つ。 この節では、この方程式 (5.1) の いわゆるリーマン問題、すなわち初期値が

$$U(0,x)=\left\{\begin{array}{ll} U_l & (x<0)\\ U_r & (x>0) \end{array}\right.$$ (5.110)

であるような解を考えることにする。

ところで、よく、 なぜこのような初期値に対する問題を考えるのか、 と聞かれることがある。 それに対する理由のようなものを以下に紹介する。

• 保存則方程式は、初期値が滑らかな関数であっても、 衝撃波のような不連続な解が起こるが、 特に、衝撃波同士が衝突した後はどのようになるか、 ということを調べようと考えると、 それは局所的にはリーマン問題となる。

  実際リーマンは、衝撃波同士の衝突後の様子の問題の一般化として リーマン問題を考え始めたようである。

• 保存則方程式は、スケール変換 $(t,x)\mapsto (at,ax)$ に対して 不変であるので、$x/t$ の関数の形の自己相似解を持つことになる。 そのような自己相似解の初期値問題は自然にリーマン問題となる。
• いわゆる衝撃波管の実験に対応し、 工学的な応用面でも重要である。

  なお、衝撃波管とは、長い管の真ん中に仕切りを置いて、 その両側を別な圧力や密度の気体で満たし、 ある瞬間にその仕切りを外し、その後の (高速に進む) 気体の変化を調べる、 という実験装置である。

• 現在知られている、保存則方程式の一般的な初期値に対する 解の存在証明のうち、Glimm の差分法や Lax-Friedrichs 差分、 Godunov 差分といった方法は、 このリーマン問題の解に基づいていて、 その解をブロックのように積み上げた近似解を評価し 極限を取ることで一般的な解を得る (近似解を作る「煉瓦ブロック」と呼ばれることもある)。

  しかもこれらの差分法は、 実際に計算機による数値計算に利用されることもあるので、 リーマン問題を解くことはそのような応用面でも重要である。

以下に、このリーマン問題の解を構成する、 これまで考察した単純波 (膨張波、衝撃波、接触不連続) の性質を 以下にまとめてみる。 なお、それらの波の中心は原点 $(t,x)=(0,0)$ であるとし、 波の左右が定数ベクトル $V_l$, $V_r$ であるとする。

• $k$-特性方向:

  $k$-膨張波, $k$-衝撃波:

  $k$-特性方向が真性非線形のとき

  $k$-接触不連続:

  $k$-特性方向が線形退化のとき

• 連続性:

  $k$-膨張波:

  連続 (つなぎ目はリプシッツ連続)

  $k$-衝撃波, $k$-接触不連続:

  不連続

• 波の範囲:

  $k$-膨張波:

  $\lambda_k(V_l)\leq x/t\leq \lambda_k(V_r)$ の扇形領域

  $k$-衝撃波, $k$-接触不連続:

  $x=s_k t$ の一本の不連続線 (断層)

• 波と左右の特性速度との関係:

  $k$-膨張波:

  波の両端は $k$-特性速度に一致

  $k$-衝撃波:

  $\lambda_k(V_l)>s_k>\lambda_k(V_r)$

  $k$-接触不連続:

  $\lambda_k(V_l)=s_k=\lambda_k(V_r)$

• $V_l$ と $V_r$ の関係:

  $k$-膨張波:

  $V_r$ は $V_l$ から出る $r_k(U)$ の積分曲線 (半曲線) $R_k(V_l)$ 上

  $k$-衝撃波:

  $V_r$ は $V_l$ から出る半曲線 $S_k(V_l)$ 上

  $k$-接触不連続:

  $V_r$ は $V_l$ を通る $r_k(U)$ の積分曲線 $C_k(V_l)$ 上 ($V_l$ の両側)