3.4 ラプラシアンの計算

(19) により、

$$\triangle = \nabla_{(x,y,z)}\bullet\nabla_{(x,y,z)}$$

$$= \left(\mbox{\boldmath$e$}_1\frac{\partial}{\partial r} +\frac{\mb... ...l \phi} +\frac{\mbox{\boldmath$e$}_3}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)$$ (20)

となるが、これを次の命題、 および (15), (16), (17) を用いて 展開する。

命題 3

任意のベクトル値関数 $\mbox{\boldmath$A$}(x_1,x_2,x_3)$, $\mbox{\boldmath$B$}(x_1,x_2,x_3)$、 および任意の $i$, $j$ に対して次が成り立つ。

$$\left(\mbox{\boldmath$A$}\frac{\partial}{\partial x_i}\righ... ...oldmath$B$}\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}\right)$$

なお、2 番目の式の右側のベクトルは、 $h=h(x_1,x_2,x_3)$ に対して

$$\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\mbox{\boldmath$B$}\frac... ...eft(\mbox{\boldmath$B$}\frac{\partial h}{\partial x_j}\right)$$

を意味することとする。

証明

左辺に $h$ をつけると

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \left(\mbox{\boldmath$A$}\frac{\partial}{\partial x_... ...box{\boldmath$B$}\frac{\partial h}{\partial x_j}\right)\right\} \end{eqnarray*}$$

となる。

この命題 3 は、 $\partial/\partial x_i$ が形式的にスカラーであるとみて、 内積の左側のベクトルから右側のベクトルに移動できることを意味しているので、 それなりに自然なものに見える (もちろん前後の入れ換えは不可)。

さて、まずは (20) の、 左のベクトルの $r$ での微分の項を考えると、 $\mbox{\boldmath$e$}_1$, $\mbox{\boldmath$e$}_2$, $\mbox{\boldmath$e$}_3$ の成分には $r$ は含まれないので、 命題 3 より

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mbox{\boldmath$e$}_1\frac{\partial}{\partial r}\bulle... ...}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\right\}\end{eqnarray*}$$

と変形され、 よって命題 2 により後ろの 2 つの項は内積により消えて、

$$\mbox{\boldmath$e$}_1\frac{\partial}{\partial r}\bullet\nabla_{(x,y,z)}=\frac{\partial^{2}}{\partial {r}^{2}}$$ (21)

となる。

次に、$\phi$ での微分の項を考えるとこれは

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\frac{\mbox{\boldmath$e$}_2}{r\cos\theta}\frac{\partia... ...\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial \phi\partial \theta}\right)\end{eqnarray*}$$

となるが、(15), (16), (17) より、

$$\begin{eqnarray*}\frac{\partial \mbox{\boldmath$e$}_1}{\partial \phi} &=& (-\... ...theta,-\cos\phi\sin\theta,0) = -\mbox{\boldmath$e$}_2\sin\theta\end{eqnarray*}$$

となるので、よって、

$$\frac{\mbox{\boldmath$e$}_2}{r\cos\theta}\frac{\partial}{\p... ...frac{\sin\theta}{r^2\cos\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}$$ (22)

となることがわかる。

最後に $\theta$ での微分の項であるが、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\frac{\mbox{\boldmath$e$}_3}{r}\frac{\partial}{\partia... ..._3\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial {\theta}^{2}} \right\}\end{eqnarray*}$$

となり、(15), (16), (17) より、

$$\frac{\partial \mbox{\boldmath$e$}_1}{\partial \theta}=\mbox... ...\mbox{\boldmath$e$}_3}{\partial \theta}=-\mbox{\boldmath$e$}_1$$

なので、

$$\frac{\mbox{\boldmath$e$}_3}{r}\frac{\partial}{\partial \ph... ...tial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^{2}}{\partial {\theta}^{2}}$$ (23)

となる。

結局、(21), (22), (23) より、

$$\triangle = \frac{\partial^{2}}{\partial {r}^{2}} +\frac... ...frac{\sin\theta}{r^2\cos\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}$$ (24)

が得られる。 これが 2 節の (14) である。

こちらの方もそれなりに手間はかかるのであるが、 2 節のやみくもな計算に比べると 内積で多くの項を消せる分楽であり、 見通しも立てやすいだろうと思う。