2.5 ラプラシアン

(11), (12), (13) の和が $f$ のラプラシアン $\triangle f$ となるが、 それぞれの式はだいぶ長いので、一気に全部加えてしまう代わりに $g$ の各導関数の係数を順番に見ていくことにする。 まず $g_{rr}$ の係数は

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\cos^2\phi\cos^2\theta+\sin^2\phi\cos^2\theta+\sin^2\t... ...i)\cos^2\theta+\sin^2\theta} \\ &=& \cos^2\theta+\sin^2\theta=1,\end{eqnarray*}$$

$g_{\phi\phi}$ の係数は

$$\frac{\sin^2\phi}{r^2\cos^2\theta}+\frac{\cos^2\phi}{r^2\cos^2\theta} =\frac{1}{r^2\cos^2\theta},$$

$g_{\theta\theta}$ の係数は

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \frac{\cos^2\phi\sin^2\theta}{r^2}+\frac{\sin^2\phi\... ...} \\ &=& \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{r^2} =\frac{1}{r^2},\end{eqnarray*}$$

$g_{r\phi}$ の係数は

$$-\frac{2\cos\phi\sin\phi}{r}+\frac{2\cos\phi\sin\phi}{r}=0,$$

$g_{r\theta}$ の係数は

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ -\frac{2\cos^2\phi\cos\theta\sin\theta}{r} -\frac{2... ...frac{-2\cos\theta\sin\theta+2\cos\theta\sin\theta}{r} \\ &=& 0,\end{eqnarray*}$$

$g_{\phi\theta}$ の係数は

$$\frac{2\cos\phi\sin\phi\sin\theta}{r^2\cos\theta} -\frac{2\cos\phi\sin\phi\sin\theta}{r^2\cos\theta} =0,$$

$g_r$ の係数は

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \frac{\sin^2\phi+\cos^2\phi\sin^2\theta}{r} +\frac{... ...\theta}{r} =\frac{1+\sin^2\theta+\cos^2\theta}{r} =\frac{2}{r},\end{eqnarray*}$$

$g_\phi$ の係数は

$$\frac{2\cos\phi\sin\phi}{r^2}-\frac{2\cos\phi\sin\phi}{r^2} =0,$$

$g_\theta$ の係数は

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{% \frac{2\cos^2\phi\cos^2\theta\sin\theta-\sin^2\phi\... ...in\theta}% {r^2\cos\theta} = -\frac{\sin\theta}{r^2\cos\theta}\end{eqnarray*}$$

となる。

よってこれらを総合すれば、結局

$$\triangle f = g_{rr} +g_{\phi\phi}\frac{1}{r^2\cos^2\the... ...^2} +g_r\frac{2}{r} -g_\theta\frac{\sin\theta}{r^2\cos\theta}$$ (14)

となる。これが、ラプラシアンの極座標での表現式である。

見てわかる通りかなり大変な計算であるが、 実際にはその途中の式 (11), (12), (13) に比べて結果の式 (14) はかなりシンプルな式になる。 以前から、何らかの方法でこの計算を楽にできないかと思っていたが、 これとは別の計算を行っていたときにある方法に気がついた。

それを $\triangle f$ の計算に応用した例を次の 3 節に示す。