6 関数の決定

本節で、任意の正数 $A$ に対して条件 II を満たす正数 $p$ が存在する ような関数 $h(y)$ を決定する。

まず、$A$ の任意性から、1 ではない正数 $A_1$, $A_2$ に対して、 0 でない実数 $p_1$, $p_2$ が存在して、任意の $y$ に対して

  $$h(y) = \frac{1}{A_1}h(y+p_1) = \frac{1}{A_2}h(y+p_2)$$ (14)

が成り立つ。よって、(9) より、

  $$h(y) = A_1^{y/p_1}u_1(y) = A_2^{y/p_2}u_2(y)$$ (15)

と書け、$u_1$ は周期 $p_1$ を、$u_2$ は周期 $p_2$ を持つ 連続な周期関数となる。 よって、

  $$\left(A_1^{1/p_1}A_2^{-1/p_2}\right)^yu_1(y) = u_2(y)$$ (16)

となるが、$u_1$, $u_2$ は連続な周期関数なので有界で、

$$A_1^{1/p_1}A_2^{-1/p_2} > 1$$

ならば $y\rightarrow\infty$ を考えれば (18) は $u_1$, そして $u_2$ が恒等的に 0 でなければならず、 よって $h(y)\equiv 0$ となってしまう。

$$0<A_1^{1/p_1}A_2^{-1/p_2} < 1$$

の場合も $y\rightarrow-\infty$ を考えれば $u_1$, $u_2$ が恒等的に 0 となり $h(y)\equiv 0$ しかありえないので、 よって

$$A_1^{1/p_1}A_2^{-1/p_2} = 1$$

すなわち

  $$A_1^{1/p_1} = A_2^{1/p_2}$$ (17)

となり、そして (18) より任意の $y$ に対し

  $$u_1(y) = u_2(y)$$ (18)

が成り立つことになる。(17) より、

$$\frac{1}{p_1}\log_e A_1 = \frac{1}{p_2}\log_e A_2$$

よって

  $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\log_e A_2}{\log_e A_1}$$ (19)

となるので、$A$ の任意性より、この右辺が無理数に なるように $A_1$, $A_2$ を選ぶことができ、その場合 $p_2/p_1$ は 無理数になり、(18) より $u_1$ は周期 $p_1$, $p_2$ を 持つので、補題 2 より $u_1$ は定数となる。

よって、(15) より $h$ は

  $$h(y) = C A^{y/p} = CB^y\hspace{1zw}(B>0,\ B\neq 1)$$ (20)

の形になることがわかる。

このとき $f(x)$ は、(5), (7) より、

	$$f(x)$$	$=$	$$xh(\log_e x) = C xB^{\log_e x} = C x^\alpha,$$	(21)
	$$\alpha$$	$=$	$$1 + \log_e B \hspace{1zw}(\neq 1)$$	(22)

となるので、結局、任意の正数 $A$ に対して条件 I を満たす 正数 $k$ が存在するような関数は、 2 節で紹介した巾乗 (の定数倍) しか存在しないことになる。