6 グラフ

次は、解 (14) によるトンネルのグラフを紹介する。もちろん、一般の

ではグラフは書けないので、均質な地球の場合のグラフを示す。これは、

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{ll} x & = f(\theta)\cos\theta\\ y &... ...n\theta \end{array}\right. \hspace{1zw}(0\leq\theta\leq\phi_0)\end{displaymath}$ (19)

で、 $f(\theta )$ は (14), (15) より

$\begin{displaymath} f(\theta) = \left\{\begin{array}{ll} H^{-1}(\theta) & (0... ...-\theta) & (\phi_0/2\leq \theta\leq \phi_0) \end{array}\right.\end{displaymath}$ (20)

であり、

は、地球が均質な場合は (10) より

$\begin{displaymath} H(Y) = \arctan s - \frac{1}{k_2}\arctan k_2 s, \hspace{1zw... ...rt{\frac{R^2-Y^2}{k_2^2Y^2-R^2}} \hspace{1zw}(R/k_2 < Y < R) \end{displaymath}$

であった。ここで、

は (11), (15) より、

$\begin{displaymath} \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{k_2}\right) = \frac{\phi_0}{2}, \hspace{1zw}\frac{1}{k_2} = 1-\frac{\phi_0}{\pi} \end{displaymath}$

となるので、

$\begin{displaymath} k_2 = \frac{\pi}{\pi-\phi_0}\end{displaymath}$ (21)

である。これで、 $\phi_0$ ( $0<\phi_0<\pi$ ) と

ですべて決定できることになる。ただし、(20) に

の逆関数が入っているためグラフ化はしにくいようにみえるかもしれないが、それはパラメータを $\theta$ から

に変えれば済む。

例えば、 $0\leq\theta\leq\phi_2/2$ では $Y=f(\theta)$ とすると、 (20) より $\theta=H(f(\theta)) =H(Y)$ なので、 (19) を

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{ll} x &= Y\cos H(Y),\\ y &= Y\sin H(Y) \end{array}\right. \hspace{1zw}(R/k_2\leq Y\leq R) \end{displaymath}$

とすればよい ( $H^{-1}(\phi_0/2) = r_1 = R/k_2$ )。さらに、 $\hat{Y} = Y/R$ とすると $1/k_2\leq \hat{Y}\leq 1$ で、

$\begin{displaymath} s = \sqrt{\frac{R^2-R^2\hat{Y}^2}{k_2^2R^2\hat{Y}^2-R^2}} = \sqrt{\frac{1-\hat{Y}^2}{k_2^2\hat{Y}^2-1}}\end{displaymath}$ (22)

となり、

が

によらない式になる (それを $H=\hat{H}(\hat{Y})$ と書く)。これによりグラフは

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{x}{R} &= \hat... ...t{Y}) \end{array}\right. \hspace{1zw}(1/k_2\leq \hat{Y}\leq 1)\end{displaymath}$ (23)

となり、

の場合のグラフ全体をそのまま

倍したものになっていることがわかる。よってグラフとしては

のもののみ考えればよいことになる。

これで、例えば gnuplot¹ の媒介変数モードを使えば、このグラフが書けるようになるのだが、複数の $\phi_0$ に対するグラフを一緒に書く場合には、パラメータの範囲が一定でないのは問題があるし、関数に特異性が含まれている ( $\hat{Y}=1/k_2$ で (22) の分母が 0 になる) とそこがうまくつながらない場合があるので、それらを修正する。

まずパラメータの範囲を固定するために、 $1/k_2\leq \hat{Y}\leq 1$ を、

$\begin{displaymath} 0\leq 1-\hat{Y}\leq 1-\frac{1}{k_2} = 1-\frac{\pi-\phi_0}{\pi} = \frac{\phi_0}{\pi} \end{displaymath}$

より、 $\tau_0 = \phi_0/\pi$ として、新たなパラメータ $\xi$ を $\xi = (1-\hat{Y})/\tau_0$ とれば $\xi$ の範囲は $0\leq\xi\leq 1$ に固定される。そして (22), (23) に $\hat{Y}=1-\tau_0\xi$ を代入すれば $\xi$ の式が得られる。

次は特異性の解消であるが、まず、

$\begin{displaymath} \arctan s = \arctan \sqrt{\frac{1-\hat{Y}^2}{k_2^2\hat{Y}^2-1}} = \mu \hspace{1zw}(-\pi/2<\mu<\pi/2) \end{displaymath}$

とすると、

$\begin{eqnarray*}&& \tan\mu = \sqrt{\frac{1-\hat{Y}^2}{k_2^2\hat{Y}^2-1}}, \hs... ...-1}{(k_2^2-1)\hat{Y}^2} = \frac{1-\hat{Y}^2}{(k_2^2-1)\hat{Y}^2}\end{eqnarray*}$

となり、この最後の式の分母は $\hat{Y}\geq 1/k_2$ より 0 にはならない。よって、 $\mu$ を特異性のない式

$\begin{displaymath} \mu = \arcsin\sqrt{\frac{1-\hat{Y}^2}{(k_2^2-1)\hat{Y}^2}}\end{displaymath}$ (24)

に書き直すことができる。同様に、

$\begin{displaymath} \arctan k_2s = \arctan k_2\sqrt{\frac{1-\hat{Y}^2}{k_2^2\hat{Y}^2-1}} = \eta \hspace{1zw}(-\pi/2<\eta<\pi/2) \end{displaymath}$

とすると、

$\begin{eqnarray*}&& \tan\eta = \sqrt{\frac{k_2^2-k_2^2\hat{Y}^2}{k_2^2\hat{Y}^2... ...{k_2^2\hat{Y}^2-1}{k_2^2-1} = \frac{k_2^2(1-\hat{Y}^2)}{k_2^2-1}\end{eqnarray*}$

となり、こちらも特異性のない

$\begin{displaymath} \eta = \arcsin\sqrt{\frac{k_2^2(1-\hat{Y}^2)}{k_2^2-1}}\end{displaymath}$ (25)

と書き直せる。

この (24), (25) を、さらに $\tau_0$ , $\xi$ で書き直す。 $1-1/k_2=\tau_0$ より $k_2 = 1/(1-\tau_0)$ 、および $\hat{Y}=1-\tau_0\xi$ より、

$\begin{eqnarray*}\frac{1-\hat{Y}^2}{(k_2^2-1)\hat{Y}^2} &=& \frac{(1-\tau_0)^2... ...\xi)^2}{1-(1-\tau_0)^2} =\ \frac{\xi(2-\tau_0\xi)}{2-\tau_0}\end{eqnarray*}$

となる。よって、

を $\xi$ , $\tau_0$ で書き表すと、

$\begin{displaymath} H = \bar{H}(\xi,\tau_0) = \arcsin\frac{1-\tau_0}{1-\tau_0... ...0}} -(1-\tau_0)\arcsin\sqrt{\frac{\xi(2-\tau_0\xi)}{2-\tau_0}}\end{displaymath}$ (26)

となる ( $0\leq\xi\leq 1$ )。

グラフのもう半分の $\phi_0/2\leq\theta\leq\phi_0$ の方は、 (20) より

$\begin{displaymath} \theta = \phi_0 - H(f(\theta)) = \tau_0\pi - \hat{H}(\hat{Y}) = \tau_0\pi - \bar{H}(\xi,\tau_0) \end{displaymath}$

とすればよいので、結局 $0\leq\theta\leq\phi_0/2$ の方は、 (26) の $\bar{H}(\xi,\tau_0)$ を使って

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{x}{R} &= (1-\... ...H}(\xi,\tau_0) \end{array}\right. \hspace{1zw}(0\leq\xi\leq 1)\end{displaymath}$ (27)

と表され、 $\phi_0/2\leq\theta\leq\phi_0$ の方は、

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{x}{R} &= (1-\... ...}(\xi,\tau_0)) \end{array}\right. \hspace{1zw}(0\leq\xi\leq 1)\end{displaymath}$ (28)

と表されることになる。 $0<\tau_0<1$ よりこれらには特異性はなく、パラメータの範囲も固定されるので、グラフ化は難しくない。実際、 $\tau_0=0.1, 0.2, \ldots, 1.0$ 、すなわち $\phi_0 = 0.1\pi, 0.2\pi, \ldots, \pi$ に対して gnuplot で書いたグラフが図 5 である。

**図 5:** 均質な地球の場合の最速降下曲線
$\includegraphics[width=14cm]{fig-cyc3-graph.eps}$

なお、最後の $\phi_0=\pi$ に対して注意をしておく。この場合、 $\tau_0=1$ だから $\bar{H}$ は 0 になり、よって (27) では $x = 1-\xi$ , 、 (28) では $x = -(1-\xi)$ , となる。それが、円の直径になっているわけである。

実際に、一般の場合でも $r_1\rightarrow +0$ ( $\phi_0\rightarrow\pi-0$ ) の場合にがこのような直径を表すものに収束することを示しておく。

であるを固定し、を $r_1\rightarrow +0$ とする。このとき、(9) の被積分関数の分母はに関して単調なので、

$\begin{displaymath} 0\leq H(y)\leq \frac{\sqrt{G(R)}}{\sqrt{k_1^2y^2-G_1(y)} y}\int_y^R df = \frac{(R-y)}{y}\sqrt{\frac{G(R)}{k_1^2y^2-G_1(y)}} \end{displaymath}$