7 4 次方程式の累乗根

フェラーリの解法で追加される累乗根は、 まず分解方程式とも呼ばれる (41) の 3 次方程式の解を 表すための 2 つ。(41) は

$$z^3-A_2z^2-4A_4z+4A_2A_4-A_3^2 = 0$$

と書けるので、$z=p+A_2/3$ とすると、

	$${ \left(p+\frac{A_2}{3}\right)^3-A_2\left(p+\frac{A_2}{3}\right)^2 -4A_4\left(p+\frac{A_2}{3}\right)+4A_2A_4-A_3^2}$$
		$=$	$$\left(p^3+A_2p^2+\frac{A_2^2}{3}p+\frac{A_2^3}{27}\right) -A_2\left(p^2+\frac{2A_2}{3}p+\frac{A_2^2}{9}\right) -4A_4p-\frac{4A_2A_4}{3}$$
			$$\mbox{} +4A_2A_4-A_3^2$$
		$=$	$$p^3+B_2p+B_3 = 0$$

となり、$B_2,B_3$ は

$$\left\{\begin{array}{ll} B_2 &\displaystyle = \frac{A_2^2}{3}-... ...A_4}{3}-A_3^2 = -\frac{2}{27}A_2^3+\frac{8}{3}A_2A_4-A_3^2 \end{array}\right.$$

となる。よって、最初に追加する累乗根は 5 節の (18), (19) より

$$J_1=\sqrt{B_3^2+\frac{4}{27}B_2^3}$$

と

$$J_2=\sqrt[3]{\frac{-B_3+J_1}{2}}, \hspace{1zw}J_2'=\sqrt[3]{\frac{-B_3-J_1}{2}}$$

である。

次に追加するのは、(41) の解のひとつの $z$ に対して (42) に現れる

$$J_3 = \sqrt{z-A_2} = \sqrt{J_2+J_2'+\frac{A_2}{3}-A_2} = \sqrt{J_2+J_2'-\frac{2A_2}{3}}$$

であり、そして最後に (42) の 2 本の 2 次方程式の 判別式 $D_{3,\pm}$ の平方根である。(42) は、

$$t^2\mp\sqrt{z-A_2}\,t+\frac{z}{2}\pm\frac{A_3}{2\sqrt{z-A_2}} = 0$$

なので、

$$D_{3,\pm} = z-A_2 - 2\left(z\pm\frac{A_3}{\sqrt{z-A_2}}\right) = -z-A_2\mp\frac{2A_3}{\sqrt{z-A_2}}$$ (43)

となり、その平方根

$$J_{4,\pm} = \sqrt{D_{3,\pm}}$$

が最後に追加する 2 つの平方根である。

まずは $J_1$ からだが、3 次の場合と同じように変数を一つ減らして $\bar{s}_j$ と $\bar{A}_k$ で考える。 $\bar{A}_k$ は既に (39) に示したし、 命題 3 で $A_k=\bar{A}_k$ も示したので、 $s_j$ と $\bar{s}_j$ の関係を見る必要はない (必要なら命題 2 で容易に得られる)。

まず、$B_2,B_3$ を $\bar{s}_j$ で表す。 なお、$J_1^2$ を $\bar{A}_k$ で表してもあまり項は消えず、 むしろその先が大変である。

	$$B_2$$	$=$	$$-\frac{1}{3}\bar{A}_2^2-4\bar{A}_4 \ =\ -\frac{1}{3}\left(-\frac... ...r{s}_1^4+\frac{1}{16}\bar{s}_1^2\bar{s}_2 -\frac{1}{4}\bar{s}_1\bar{s}_3\right)$$
		$=$	$$-\frac{1}{3}\left(\frac{9}{64}\bar{s}_1^4-\frac{3}{4}\bar{s}_1^2\... ...t) +\frac{3}{64}\bar{s}_1^4-\frac{1}{4}\bar{s}_1^2\bar{s}_2 +\bar{s}_1\bar{s}_3$$
		$=$	$$-\frac{1}{3}\bar{s}_2^2+\bar{s}_1\bar{s}_3,$$
	$$B_3$$	$=$	$$-\frac{2}{27}\bar{A}_2^3+\frac{8}{3}\bar{A}_2\bar{A}_4-\bar{A}_3^2$$
		$=$	$$-\frac{2}{27}\left(-\frac{3}{8}\bar{s}_1^2+\bar{s}_2\right)^3 +\f... ...r{s}_1^4+\frac{1}{16}\bar{s}_1^2\bar{s}_2 -\frac{1}{4}\bar{s}_1\bar{s}_3\right)$$
			$$\mbox{} -\left(-\frac{1}{8}\bar{s}_1^3+\frac{1}{2}\bar{s}_1\bar{s}_2-\bar{s}_3 \right)^2$$
		$=$	$$-\frac{2}{27}\left(-\frac{27}{2^9}\bar{s}_1^6 +\frac{27}{64}\bar{s}_1^4\bar{s}_2 -\frac{9}{8}\bar{s}_1^2\bar{s}_2^2 + \bar{s}_2^3\right)$$
			$$\mbox{} +\frac{8}{3}\left(\frac{9}{2^{11}}\bar{s}_1^6 -\frac{9}{2... ...\frac{3}{32}\bar{s}_1^3\bar{s}_3 -\frac{1}{4}\bar{s}_1\bar{s}_2\bar{s}_3\right)$$
			$$\mbox{} -\left(\frac{1}{64}\bar{s}_1^6 +\frac{1}{4}\bar{s}_1^2\ba... ...4\bar{s}_2 +\frac{1}{4}\bar{s}_1^3\bar{s}_3 -\bar{s}_1\bar{s}_2\bar{s}_3\right)$$
		$=$	$$\bar{s}_1^6\left(\frac{1}{2^8}+\frac{3}{2^8}-\frac{1}{64}\right) ... ...right) +\bar{s}_1^2\bar{s}_2^2\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}\right)$$
			$$\mbox{} -\frac{2}{27}\bar{s}_2^3 +\bar{s}_1^3\bar{s}_3\left(\frac... ...{4}\right) +\bar{s}_1\bar{s}_2\bar{s}_3\left(-\frac{2}{3}+1\right) -\bar{s}_3^2$$
		$=$	$$\frac{1}{3}\bar{s}_1\bar{s}_2\bar{s}_3-\frac{2}{27}\bar{s}_2^3-\bar{s}_3^2$$

となる。よって、

	$$J_1^2$$	$=$	$$B_3^2+\frac{4}{27}B_2^3$$
		$=$	$$\left(\frac{1}{3}\bar{s}_1\bar{s}_2\bar{s}_3-\frac{2}{27}\bar{s}_... ...right)^2 +\frac{4}{27}\left(-\frac{1}{3}\bar{s}_2^2+\bar{s}_1\bar{s}_3\right)^3$$
		$=$	$$\frac{1}{9}\bar{s}_1^2\bar{s}_2^2\bar{s}_3^2+\frac{4}{3^6}\bar{s}... ...3 -\frac{2}{3}\bar{s}_1\bar{s}_2\bar{s}_3^3 +\frac{4}{27}\bar{s}_2^3\bar{s}_3^2$$
			$$\mbox{} +\frac{4}{27}\left(-\frac{1}{27}\bar{s}_2^6 +\frac{1}{3}\... ..._2^4\bar{s}_3 -\bar{s}_1^2\bar{s}_2^2\bar{s}_3^2 +\bar{s}_1^3\bar{s}_3^3\right)$$
		$=$	$$\bar{s}_1^2\bar{s}_2^2\bar{s}_3^2\left(\frac{1}{9}-\frac{4}{27}\r... ...eft(-\frac{4}{81}+\frac{4}{81}\right) -\frac{2}{3}\bar{s}_1\bar{s}_2\bar{s}_3^3$$
			$$\mbox{} +\frac{4}{27}\bar{s}_2^3\bar{s}_3^2 +\frac{4}{27}\bar{s}_1^3\bar{s}_3^3$$
		$=$	$$-\frac{1}{27}\bar{s}_1^2\bar{s}_2^2\bar{s}_3^2 +\bar{s}_3^4 -\fra... ...{s}_3^3 +\frac{4}{27}\bar{s}_2^3\bar{s}_3^2 +\frac{4}{27}\bar{s}_1^3\bar{s}_3^3$$

より、

$$J_1^2 = \bar{s}_3^2 H_1(\bar{s}_1,\bar{s}_2,\bar{s}_3), \hspace... ..._1\bar{s}_2\bar{s}_3 +\frac{4}{27}\bar{s}_2^3+\frac{4}{27}\bar{s}_1^3\bar{s}_3$$ (44)

と書ける。 ここで、$H_1$ は $\bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3$ の 6 次の対称式となる。

当然 $J_1^2$ も $\bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3$ の対称式であり、 $x_1,x_2,x_3,x_4$ の対称式でもあるが、 それが

$$\bar{s}_3^2 = \bar{x}_1^2\bar{x}_2^2\bar{x}_2^2 = (x_1-x_4)^2(x_2-x_4)^2(x_3-x_4)^2$$ (45)

を因数に持つということは、$J_1^2$ は $x_j$ の置換をほどこしても不変なので、

$$(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2 = (\bar{x}_1-\bar{x}_2)^2(\bar{x}_1-\bar{x}_3)^2(\bar{x}_2-\bar{x}_3)^2$$ (46)

も因数に持つということになる。 実際、(45) に (2 4) の互換をほどこせば

$$(x_1-x_2)^2(x_4-x_2)^2(x_3-x_2)^2$$

に変わるので $J_1^2$ は $(x_1-x_2)^2(x_2-x_3)^2$ で割れ、 さらに (2 3) の互換をほどこせば

$$(x_1-x_3)^2(x_4-x_3)^2(x_2-x_3)^2$$

に変わるので、$(x_1-x_3)^2$ でも割れるから、(46) で 割れることになる。 よって $J_1^2$ は (45), (46) の積である

$$P_4(x_1,x_2,x_3,x_4)^2 =(\bar{x}_1\bar{x}_2\bar{x}_3)^2P_3(\bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3)^2 =\bar{s}_3^2\bar{P}_3^2$$

で割れることになる。$\bar{P}_3^2$ は 6 次の対称式なので、 (44) より結局 $H_1$ は $\bar{P}_3^2$ の定数倍 となり、その定数は、 $\bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3$ に 具体的な値を代入すれば決定できる。 例えば、 $\bar{x}_1=1,\bar{x}_2=-1,\bar{x}_3=0$ とすると $\bar{s}_1=0,\bar{s}_2=-1,\bar{s}_3=0$ となり、よって (44), (46) より

$$H_1 = -\frac{4}{27},\hspace{1zw}\bar{P}_3^2 = 2^2\cdot 1\cdot 1 = 4$$

なので、 $H_1=-\bar{P}_3^2/27$ となることがわかる。これにより、

$$J_1^2=-\frac{1}{27}\bar{s}_3^2\bar{P}_3^2 = -\frac{1}{27}P_4^2$$

となり、よって $J_1$ の平方根のひとつは

$$J_1 = \frac{\sqrt{3}\,i}{9}\bar{s}_3\bar{P}_3 = \frac{\omega-\omega^2}{9}P_4$$ (47)

となる。4 次の場合も、最初の累乗根 $J_1$ はやはり差積の定数倍であり、 3 次の場合の (33) の $I_1$ と ほぼ同等の式になっていることがわかる。

なお、 $H_1=-\bar{P}_3^2/27$ は、この形を知った上でなら (44) を展開して直接示すこともできる。 その計算は本節の最後に紹介する。

次は $J_2^3$ 。

$$J_2^3 =\frac{1}{2}(-B_3+J_1) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\b... ...2}{27}\bar{s}_2^3+\bar{s}_3^2\right) +\frac{\sqrt{3}\,i}{18}\bar{s}_3\bar{P}_3$$ (48)

となる。ここで、この右辺を 3 乗の形に変形するために、 3 項の 3 乗の展開について少し見ておく。 3 次の対称式 $S_j,Q_3$ を

$$S_k = \sum_{j=1}^3 y_j^k,\hspace{1zw}Q_3 = \sum_{i,j=1}^3 y_i^2y_j =y_1^2(y_2+y_3)+y_2^2(y_3+y_1)+y_3^2(y_1+y_2)$$

と定めると、 $s_1(y_1,y_2,y_3) = y_1+y_2+y_3$ の 3 乗は、

$$\left\{\begin{array}{lcl} s_1^2 &=& (y_1+y_2+y_3)^2 \ =\ S... ...&=& (y_1+y_2+y_3)(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3) \ =\ Q_3 + 3s_3 \end{array}\right.$$ (49)

より、

$$s_1^3 = s_1(S_2 + 2s_2) = S_3 + Q_3 + 2(Q_3+3s_3) = S_3 + 3Q_3 + 6s_3$$ (50)

となることがわかる。 また、 $Q_3=Q_3(y_1,y_2,y_3)$ は次の性質を持つことも容易にわかる。

$$\left\{\begin{array}{l} Q_3(ry_1,ry_2,ry_3) = r^3Q_3(y_1,y_2,y_3)\\ Q_3(y_2y_3,y_3y_1,y_1y_2) = y_1y_2y_3Q_3(y_1,y_2,y_3) \end{array}\right.$$ (51)

さて $J_2^3$ の (48) の右辺の変形に戻る。 (48) を

$$J_2^3 = \frac{1}{27}\left\{\bar{s}_2^3 -\frac{9}{2}\bar{s}_3(\bar{s}_1\bar{s}_2-3\bar{s}_3) +\frac{3\sqrt{3}\,i}{2}\bar{s}_3\bar{P}_3\right\}$$ (52)

と変形すると、 (52) のかっこ内の最初の 2 項は (49), (50), (51) より、

	$${\bar{s}_2^3 -\frac{9}{2}\bar{s}_3(\bar{s}_1\bar{s}_2-3\bar{s}_3)... ...+\bar{x}_2\bar{x}_3)^3 -\frac{9}{2}\bar{s}_3Q_3(\bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3)}$$
		$=$	$$S_3(\bar{x}_1\bar{x}_2,\bar{x}_1\bar{x}_3,\bar{x}_2\bar{x}_3) +3Q... ...r{x}_3^2 %\\ &&\mbox{} -\frac{9}{2}\bar{s}_3Q_3(\bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3)$$
		$=$	$$S_3(\bar{x}_1\bar{x}_2,\bar{x}_1\bar{x}_3,\bar{x}_2\bar{x}_3) -\frac{3}{2}\bar{s}_3Q_3(\bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3) +6\bar{s}_3^2$$

となり、よって $J_2^3$ は

$$J_2^3 = \frac{1}{27}\left\{ S_3(\bar{x}_1\bar{x}_2,\bar{x}_1\b... ...(\bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3) +\frac{\sqrt{3}\,i}{2}\bar{P}_3\right)\right\}$$ (53)

と書ける。ここで、

	$$\bar{P}_3$$	$=$	$$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)(\bar{x}_1-\bar{x}_3)(\bar{x}_2-\bar{x}_3)$$
		$=$	$$\bar{x}_1^2\bar{x}_2-\bar{x}_1^2\bar{x}_3-\bar{x}_1\bar{x}_3\bar{... ...bar{x}_1+\bar{x}_2\bar{x}_1\bar{x}_3 +\bar{x}_2^2\bar{x}_3-\bar{x}_2\bar{x}_3^2$$
		$=$	$$\bar{x}_1^2\bar{x}_2+\bar{x}_2^2\bar{x}_3+\bar{x}_3^2\bar{x}_1 -\bar{x}_1\bar{x}_2^2-\bar{x}_2\bar{x}_3^2-\bar{x}_3\bar{x}_1^2$$	(54)

となるので、

	$${-\frac{1}{2}Q_3(\bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3) +\frac{\sqrt{3}\,i}{2}\bar{P}_3}$$
		$=$	$$\frac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}(\bar{x}_1^2\bar{x}_2+\bar{x}_2^2\bar{x}_... ...sqrt{3}\,i}{2}(\bar{x}_1\bar{x}_2^2+\bar{x}_2\bar{x}_3^2 +\bar{x}_3\bar{x}_1^2)$$
		$=$	$$\omega(\bar{x}_1^2\bar{x}_2+\bar{x}_2^2\bar{x}_3+\bar{x}_3^2\bar{x}_1) +\omega^2(\bar{x}_1\bar{x}_2^2+\bar{x}_2\bar{x}_3^2+\bar{x}_3\bar{x}_1^2)$$
		$=$	$$\bar{x}_1^2(\omega\bar{x}_2)+(\omega\bar{x}_2)^2(\omega^2\bar{x}_... ...2\bar{x}_1 +\bar{x}_1(\omega\bar{x}_2)^2+(\omega\bar{x}_2)(\omega^2\bar{x}_3)^2$$
			$$\mbox{} +(\omega^2\bar{x}_3)\bar{x}_1^2$$
		$=$	$$Q_3(\bar{x}_1,\omega\bar{x}_2,\omega^2\bar{x}_3)$$

と変形できる。また、(51) より、

	$${\bar{s}_3Q_3(\bar{x}_1,\omega\bar{x}_2,\omega^2\bar{x}_3) \ =\ \... ...\bar{x}_2)(\omega^2\bar{x}_3) Q_3(\bar{x}_1,\omega\bar{x}_2,\omega^2\bar{x}_3)}$$
		$=$	$$Q_3(\bar{x}_1(\omega\bar{x}_2),\bar{x}_1(\omega^2\bar{x}_3), (\omega\bar{x}_2)(\omega^2\bar{x}_3))$$

となるので、(53) は、

	$$J_2^3$$	$=$	$$\frac{1}{27}\left\{ S_3(\bar{x}_1\bar{x}_2,\bar{x}_1\bar{x}_3,\ba... ...\bar{s}_3^2 +3\bar{s}_3Q_3(\bar{x}_1,\omega\bar{x}_2,\omega^2\bar{x}_3)\right\}$$
		$=$	$$\frac{1}{27}\left\{ S_3(\bar{x}_1(\omega\bar{x}_2),\bar{x}_1(\omega^2\bar{x}_3), (\omega\bar{x}_2)(\omega^2\bar{x}_3))\right.$$
			$$\mbox{}\left. +3Q_3(\bar{x}_1(\omega\bar{x}_2),\bar{x}_1(\omega^2... ...mega^2\bar{x}_3)) +6\bar{x}_1^2(\omega\bar{x}_2)^2(\omega^2\bar{x}_3)^2\right\}$$
		$=$	$$\left\{\frac{1}{3}(\omega\bar{x}_1\bar{x}_2+\omega^2\bar{x}_1\bar... ...r{x}_1\bar{x}_2+\omega\bar{x}_1\bar{x}_3 +\omega^2\bar{x}_2\bar{x}_3)\right\}^3$$

となり、よってその 3 乗根の一つは

$$J_2 = \frac{1}{3}(\bar{x}_1\bar{x}_2+\omega\bar{x}_1\bar{x}_3 +\omega^2\bar{x}_2\bar{x}_3)$$

となる。$x_j$ で表すと、

	$${\bar{x}_1\bar{x}_2+\omega\bar{x}_1\bar{x}_3 +\omega^2\bar{x}_2\bar{x}_3}$$
		$=$	$$(x_1-x_4)(x_2-x_4)+\omega(x_1-x_4)(x_3-x_4)+\omega^2(x_2-x_4)(x_3-x_4)$$
		$=$	$$x_1x_2-x_4(x_1+x_2)+x_4^2 +\omega\{x_1x_3-x_4(x_1+x_3)+x_4^2\}$$
			$$\mbox{} +\omega^2\{x_2x_3-x_4(x_2+x_3)+x_4^2\}$$
		$=$	$$x_1x_2+\omega x_1x_3+\omega^2x_2x_3 -x_4\{(1+\omega)x_1+(1+\omega^2)x_2+(\omega+\omega^2)x_3\}$$
			$$\mbox{} +x_4^2(1+\omega+\omega^2)$$
		$=$	$$x_1x_2+\omega x_1x_3+\omega^2x_2x_3 -x_4(-\omega^2x_1-\omega x_2-x_3)$$
		$=$	$$x_1x_2+x_3x_4+\omega(x_1x_3+x_2x_4)+\omega^2(x_1x_4+x_2x_3)$$

より

$$J_2 = \frac{1}{3} \{x_1x_2+x_3x_4+\omega(x_1x_3+x_2x_4)+\omega^2(x_1x_4+x_2x_3)\}$$

となる。

また、$J_1$ を $-J_1$ にした場合の $J_2$ は、係数が共役になるので、

	$$J_2'$$	$=$	$$\frac{1}{3}(\bar{x}_1\bar{x}_2+\omega^2\bar{x}_1\bar{x}_3 +\omega\bar{x}_2\bar{x}_3)$$
		$=$	$$\frac{1}{3} \{x_1x_2+x_3x_4+\omega^2(x_1x_3+x_2x_4)+\omega(x_1x_4+x_2x_3)\}$$

となる。この $J_2$ と $J_2'$ の和で $z$ が構成される。

次は $J_3=\sqrt{z-A_2}$ 。$z$ は、 $z=J_2+J_2'+A_2/3$ だが、

	$$J_2+J_2'$$	$=$	$$\frac{1}{3}(\bar{x}_1\bar{x}_2+\omega\bar{x}_1\bar{x}_3 +\omega^2... ...{1}{3}(\bar{x}_1\bar{x}_2+\omega^2\bar{x}_1\bar{x}_3 +\omega\bar{x}_2\bar{x}_3)$$
		$=$	$$\frac{1}{3}(2\bar{x}_1\bar{x}_2-\bar{x}_1\bar{x}_3-\bar{x}_2\bar{x}_3),$$
	$$A_2$$	$=$	$$-\frac{3}{8}\bar{s}_1^2+\bar{s}_2 \ =\ -\frac{3}{8}(\bar{x}_1+\bar{x}_2+\bar{x}_3)^2 +\bar{x}_1\bar{x}_2+\bar{x}_1\bar{x}_3+\bar{x}_2\bar{x}_3$$
		$=$	$$-\frac{3}{8}(\bar{x}_1^2+\bar{x}_2^2+\bar{x}_3^2) +\frac{1}{4}(\bar{x}_1\bar{x}_2+\bar{x}_1\bar{x}_3+\bar{x}_2\bar{x}_3)$$

より、

	$$J_3^2$$	$=$	$$z-A_2 \ =\ J_2+J_2'+\frac{A_2}{3}-A_2 \ =\ J_2+J_2'-\frac{2}{3}A_2$$
		$=$	$$\frac{1}{3}(2\bar{x}_1\bar{x}_2-\bar{x}_1\bar{x}_3-\bar{x}_2\bar{... ...{x}_3^2) -\frac{1}{6}(\bar{x}_1\bar{x}_2+\bar{x}_1\bar{x}_3+\bar{x}_2\bar{x}_3)$$
		$=$	$$\frac{1}{4}(\bar{x}_1^2+\bar{x}_2^2+\bar{x}_3^2) +\frac{1}{6}(3\bar{x}_1\bar{x}_2-3\bar{x}_1\bar{x}_3-3\bar{x}_2\bar{x}_3)$$
		$=$	$$\frac{1}{4}(\bar{x}_1^2+\bar{x}_2^2+\bar{x}_3^2 +2\bar{x}_1\bar{x}_2-2\bar{x}_1\bar{x}_3-2\bar{x}_2\bar{x}_3)$$
		$=$	$$\left\{\frac{1}{2}(\bar{x}_1+\bar{x}_2-\bar{x}_3)\right\}^2$$

となるので、$J_3$ の平方根の一つは、

$$J_3 = \frac{1}{2}(\bar{x}_1+\bar{x}_2-\bar{x}_3)$$ (55)

となる。

最後は $J_{4,\pm}=\sqrt{D_{3,\pm}}$ 。(43) より、

	$$J_{4,\pm}^2$$	$=$	$$D_{3,\pm} \ =\ -z - A_2\mp\frac{2A_3}{\sqrt{z-A_2}} \ =\ -\left(J_2+J_2'+\frac{A_2}{3}\right)- A_2\mp\frac{2A_3}{J_3}$$
		$=$	$$\frac{1}{3}(-2\bar{x}_1\bar{x}_2+\bar{x}_1\bar{x}_3+\bar{x}_2\bar... ... -\frac{4}{3}\left(-\frac{3}{8}\bar{s}_1^2+\bar{s}_2\right) \mp\frac{2A_3}{J_3}$$
		$=$	$$\frac{1}{3}(-2\bar{x}_1\bar{x}_2+\bar{x}_1\bar{x}_3+\bar{x}_2\bar... ...1}{2}(\bar{x}_1+\bar{x}_2+\bar{x}_3)^2-\frac{4}{3}\bar{s}_2 \mp\frac{2A_3}{J_3}$$
		$=$	$$\frac{1}{3}(-2\bar{x}_1\bar{x}_2+\bar{x}_1\bar{x}_3+\bar{x}_2\bar... ...}(\bar{x}_1^2+\bar{x}_2^2+\bar{x}_3^2)-\frac{1}{3}\bar{s}_2 \mp\frac{2A_3}{J_3}$$
		$=$	$$\frac{1}{2}(\bar{x}_1^2+\bar{x}_2^2+\bar{x}_3^2) -\bar{x}_1\bar{x}_2\mp\frac{2A_3}{J_3}$$

なので

$$J_{4,\pm}^2 = \frac{1}{2}\{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)^2+\bar{x}_3^2\} \mp\frac{2A_3}{J_3}$$ (56)

と書ける。この最後の項であるが、これは約分ができる。 (49), (50) より $A_3$ は

	$${A_3 \ =\ -\frac{1}{8}\bar{s}_1^3+\frac{1}{2}\bar{s}_1\bar{s}_2-... ...rac{1}{8}\{(\bar{x}_1+\bar{x}_3+\bar{x}_3)^3 -4\bar{s}_1\bar{s}_2+8\bar{s}_3\}}$$
		$=$	$$-\frac{1}{8}(\bar{S}_3+3\bar{Q}_3+6\bar{s}_3 -4\bar{Q}_3-12\bar{s}_3+8\bar{s}_3) \ =\ -\frac{1}{8}(\bar{S}_3-\bar{Q}_3+2\bar{s}_3)$$
		$=$	$$-\frac{1}{8}\{\bar{x}_1^3+\bar{x}_2^3+\bar{x}_3^3 -\bar{x}_1^2(\b... ..._3^2) -\bar{x}_2\bar{x}_3(\bar{x}_2+\bar{x}_3) + 2\bar{x}_1\bar{x}_2\bar{x}_3\}$$
		$=$	$$-\frac{1}{8}\{\bar{x}_1^3-\bar{x}_1^2(\bar{x}_2+\bar{x}_3) -\bar{... ...bar{x}_3) +(\bar{x}_2+\bar{x}_3)(\bar{x}_2^2-2\bar{x}_2\bar{x}_3+\bar{x}_3^2)\}$$
		$=$	$$-\frac{1}{8}\{\bar{x}_1^2(\bar{x}_1-\bar{x}_2-\bar{x}_3) +(\bar{x}_2+\bar{x}_3-\bar{x}_1)(\bar{x}_2-\bar{x}_3)^2\}$$
		$=$	$$-\frac{1}{8}(\bar{x}_1-\bar{x}_2-\bar{x}_3) \{\bar{x}_1^2-(\bar{x}_2-\bar{x}_3)^2\}$$
		$=$	$$-\frac{1}{8}(\bar{x}_1-\bar{x}_2-\bar{x}_3) (\bar{x}_1+\bar{x}_2-\bar{x}_3)(\bar{x}_1-\bar{x}_2+\bar{x}_3)$$

と因数分解できるので、(55) より

	$$\frac{2A_3}{J_3}$$	$=$	$$-\frac{1}{2}\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2-\bar{x}_3) (\bar{x}_1+\bar{x}_2-\bar{x}_3)(\bar{x}_1-\bar{x}_2+\bar{x}_3)}% {\bar{x}_1+\bar{x}_2-\bar{x}_3}$$
		$=$	$$-\frac{1}{2}(\bar{x}_1-\bar{x}_2-\bar{x}_3)(\bar{x}_1-\bar{x}_2+\bar{x}_3) \ =\ -\frac{1}{2}\{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)^2-\bar{x}_3^2\}$$

と約分できる。これにより (56) は、

$$J_{4,\pm}^2 =\frac{1}{2}\{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)^2+\bar{x}_3^2\} \... ...}\{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)^2-\bar{x}_3^2\} =(\bar{x}_1-\bar{x}_2)^2, \bar{x}_3^2$$

となり、よって $J_{4,\pm}$ の平方根の一つは、それぞれ

$$J_{4,+} = \bar{x}_1-\bar{x}_2 = x_1-x_2, \hspace{1zw}J_{4,-} = \bar{x}_3 = x_3-x_4$$

となることがわかる。以上をまとめると、4 次方程式の解の公式の累乗根は

$$\left\{\begin{array}{ll} J_1 &\displaystyle = \frac{\omega-\om... ...}_1-\bar{x}_2 = x_1-x_2\\ J_{4,-} & = \bar{x}_3 = x_3-x_4 \end{array}\right.$$

となる。

逆にこれらの式と係数 $s_j$ から解を表すのは容易で、$s_1$ と $J_3$ を 使えば、

$$\frac{1}{2}s_1 + J_3 = x_1+x_2,\hspace{1zw}\frac{1}{2}s_1 - J_3 = x_3+x_4$$

であるから、$J_{4,\pm}$ によって

$$\left\{\begin{array}{ll} x_1 &\displaystyle = \frac{1}{2}\left(\... ..._{4,-}\right) = \frac{s_1}{4}+\frac{-J_3-J_{4,-}}{2}\\ [1zh]\end{array}\right.$$

となる。この右辺は丁度フェラーリの解と同じものになっている。

最後に、(47) の後に書いた、 (44) の $H_1$ が $-\bar{P}_3^2/27$ に等しいことを 直接展開することにより示す。 まず、(54) の最初の $+$ の 3 つの項の和を $\bar{R}_3$, 後の $-$ の 3 つの項の和を $-\bar{T}_3$ とすると、

$$\bar{P}_3 = \bar{R}_3 - \bar{T}_3, \hspace{1zw}\bar{Q}_3 = \bar{R}_3 + \bar{T}_3$$ (57)

であることがわかる。一方、 $\hat{S}_3 = S_3(\bar{x}_1\bar{x}_2,\bar{x}_1\bar{x}_3,\bar{x}_2\bar{x}_3)$ とすると、

	$$\bar{R}_3\bar{T}_3$$	$=$	$$(\bar{x}_1^2\bar{x}_2+\bar{x}_2^2\bar{x}_3+\bar{x}_3^2\bar{x}_1) (\bar{x}_1\bar{x}_2^2+\bar{x}_2\bar{x}_3^2+\bar{x}_3\bar{x}_1^2)$$
		$=$	$$(\bar{x}_1^3\bar{x}_2^3+\bar{x}_1^2\bar{x}_2^2\bar{x}_3^2 +\bar{x... ...^3\bar{x}_3^3+\bar{x}_1^2\bar{x}_2^2\bar{x}_3^2 +\bar{x}_1\bar{x}_2^4\bar{x}_3)$$
			$$\mbox{} +(\bar{x}_1^3\bar{x}_3^3+\bar{x}_1^2\bar{x}_2^2\bar{x}_3^2 +\bar{x}_1\bar{x}_2\bar{x}_3^4)$$

より

$$\bar{R}_3\bar{T}_3 = \hat{S}_3+3\bar{s}_3^2+\bar{s}_3\bar{S}_3$$ (58)

となる。よって、(44) は (50), (51) より

	$$-27H_1$$	$=$	$$\bar{s}_1^2\bar{s}_2^2-27\bar{s}_3^2+18\bar{s}_1\bar{s}_2\bar{s}_3 -4\bar{s}_2^3-4\bar{s}_1^3\bar{s}_3$$
		$=$	$$-27\bar{s}_3^2+\bar{s}_3(18\bar{s}_1\bar{s}_2-4\bar{s}_1^3) +\bar{s}_1^2\bar{s}_2^2-4\bar{s}_2^3$$
		$=$	$$-27\bar{s}_3^2 +\bar{s}_3\{18\bar{Q}_3+54\bar{s}_3-4(\bar{S}_3+3\bar{Q}_3+6\bar{s}_3)\} +(\bar{Q}_3+3\bar{s}_3)^2$$
			$$\mbox{} -4\{\hat{S}_3+3Q_3(\bar{x}_1\bar{x}_2,\bar{x}_1\bar{x}_3, \bar{x}_2\bar{x}_3)+6\bar{s}_3^2\}$$
		$=$	$$-27\bar{s}_3^2+(-4\bar{s}_3\bar{S}_3+6\bar{s}_3\bar{Q}_3+30\bar{s}_3^2) +(\bar{Q}_3^2+6\bar{s}_3\bar{Q}_3+9\bar{s}_3^2)$$
			$$\mbox{} -(4\hat{S}_3+12\bar{s}_3\bar{Q}_3+24\bar{s}_3^2)$$
		$=$	$$\bar{Q}_3^2-4\hat{S}_3-4\bar{s}_3\bar{S}_3-12\bar{s}_3^2 \ =\ \bar{Q}_3^2-4(\hat{S}_3+\bar{s}_3\bar{S}_3+3\bar{s}_3^2)$$

となるので、(57), (58) より、

$$-27H_1 = (\bar{R}_3+\bar{T}_3)^2-4\bar{R}_3\bar{T}_3 = (\bar{R}_3-\bar{T}_3)^2 = \bar{P}_3^2$$

となることがわかる。