8 最後に

本稿では、アーベルの定理に関係する個人的な疑問に対する計算を紹介した。

解の公式の累乗根は、本来は根 $x_1,\ldots,x_n$ の対称式である $a_j$ から 対称式ではない有理式を作っていて、それによって対称式ではない $x_j$ を 累乗根と係数である対称式で表すのが解の公式なのであるが、 本稿のようにその累乗根を根の有理式で表してみるとその仕組みが見えてくる。

また、本稿では累乗根を $\bar{s}_j$ で表し、そこに $\bar{x}_j$ を代入して 展開するといったような計算を示したが、 単に最終的な有理式を得るだけなら実は逆から始める方が簡単で、 例えば 3 次式ならカルダノの公式 (37) から (36) を導けば $I_2,I_2'$ の有理式 (1 次式) が得られ、そして $I_1$ の有理式は、 (19) より $I_1=2I_2^3+A_3$ により得ることができる。

しかし、やはりそれだと (少なくとも私には) あまりわかったような 気にはならないので、本稿ではあえて正面から面倒な計算をやってみた。 よって、それほど意味のある計算ではないが、 あまりこういう泥臭い計算を目にすることはないので、 全く無意味というわけでもないかなと思う。