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5 積の収束の証明
では、3 節の極限の定義 2 を使って、
積の収束 (3) を証明してみよう。
この場合、どんな
(
) に対しても、
ならば
 |
(6) |
となるような
が取れればいい。そのような
を実際に探してみる。
まず、2 節のように、
とすると、
,
は
,
にそれぞれ収束する
という仮定から、
極限の定義 2 により、
どんな
(
) に対しても
ならば
となるような
が取れ、
ならば
となるような
が取れる
はずである。つまり、この場合、
となることになる。
2 節で計算したように、
であることに注意する。
まず、
,
の場合を考える。
仮定より、
と考えれば、
 |
(7) |
となるような
が取れるはずである。
同様に、
と考えれば
 |
(8) |
となるような
が取れるはずであるし、
と考えれば
 |
(9) |
となるような
も取れるはずである。
この、
,
,
の一番大きいものを
としよう。
そうすると、
ならば、もちろん
だから
(7) より
なので、
 |
(10) |
となる。同様に
だから (8) より
なので、
 |
(11) |
である。そして、
かつ
だから、
(7) と (9) より
なので、
 |
(12) |
である。この (10),(11),(12) を
合わせると、
に対しては
すなわち、
が言え、(6) が言えることになる。
で
のときは、
とすれば
である
が取れ、
とすれば
であるような
が取れる。
よって、
と
の大きい方を
とすれば、
であれば
なので、
となり、よって
が言える。その他の場合も同様である。
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竹野茂治@新潟工科大学
2006年3月31日