5 結果から定数を消去

(4) から (5) が導くには、 3 節のように結果の形からそれを導く、という方法もある。

もし y が (5) であるとすると、 それを e^x 倍すれば

ye^x = C₁e^2x + C₂

となるので、この式を両辺微分すれば C₂ が消え、

(ye^x)' = 2C₁e^2x

となる。そして次にこの式を e^2x で割って微分すれば C₁ も消えて

((ye^x)'e^-2x)' = 0 (8)

となるはずである。 よって、逆に (4) から (8) が導ければ、 上の手順を逆にたどって (5) が得らえるだろう、 という方法である。

今、h = ye^x と置くと、

h' = (ye^x)' = y'e^x + y(e^x)' = y'e^x + ye^x,

h'' = (ye^x)'' = y''e^x +2y'(e^x)' + y(e^x)'' = y''e^x +2y'e^x + ye^x

なので、(4) から

h'' = 2(y'e^x + ye^x)

となるが、この右辺は 2h' に等しく、

h'' = 2h' (9)

となる。この両辺を e^-2x 倍すると、

h''e^-2x -2h'e^-2x = 0

となり、この式の左辺は h'e^-2x を微分したものに等しい。つまり

(h'e^-2x)' = 0

となるので、(3) により、h'e^-2x が定数となり、

h' = (ye^x)' = C₁e^2x

が得られることになる。ここから y を求めるのは、 4 節の (6) 以降と同じようにすればよい。

ところで、(9) から 4 節の (6), (7) を導くこともでき、そここから結果として (5) を得ることもできる。

まず (9) より、 (h')' = 2(h') であるから、 3 節の結果により

h' = C₁e^2x

となるが、 h' = (ye^x)' = y'e^x + ye^x なので、

y'e^x + ye^x = C₁e^2x

となり、この両辺を e^x で割れば (6) が得られる。

一方、(9) を (h' - 2h)' = 0 と見れば、 (3) により

h' - 2h = C₂

となり、この左辺は、

h' - 2h = (ye^x)' - 2ye^x = y'e^x + ye^x -2ye^x = y'e^x - ye^x

なので、

y'e^x - ye^x = C₂

となり、両辺を e^x で割れば (7) が得られるのである。