7.2 のとき

Next: 8 差分近似解 Up: 7 リーマン問題 Previous: 7.1 のとき (PDF ��: pdetutor.pdf)

7.2 $u_{-}<u_{+}$ のとき

このときは特性曲線は交わらずに、特性曲線の通らない領域ができてしまう。

**図 21:** 特性曲線の空白域
$\includegraphics[width=\textwidth]{image/charR2.eps}$

**図 22:** 膨張波解と特性曲線
$\includegraphics[width=\textwidth]{image/charR3.eps}$

この部分では、解は滑らかな関数として求める必要がある。

今、正の定数 $\lambda$ に対して

$\begin{displaymath} w(t,x)=u\left(\frac{t}{\lambda},\frac{x}{\lambda}\right) \end{displaymath}$

とおくと、

も実は方程式 (17) を満たし、初期値は

となる。それは

$\begin{eqnarray*} w_t+ww_x & = & \frac{\partial }{\partial t}u\left(\frac{t}{... ...c{x}{\lambda}\right) = f\left(\frac{x}{\lambda}\right) = f(x) \end{eqnarray*}$

となるからである。よって、一つの初期値に対し、解が一つに決まるべきだとすれば

であることになり、つまりすべての正の実数 $\lambda$ ,

とすべての実数

に対し

$\begin{displaymath} u(t,x)=u\left(\frac{t}{\lambda},\frac{x}{\lambda}\right)\end{displaymath}$

(27)

が成り立つことになる。今、この式において $\lambda=t$ とすれば

$\begin{displaymath} u(t,x)=u\left(1,\frac{x}{t}\right)\end{displaymath}$

(28)

となるので、

の

のときの値を

、すなわち

とすると (28) により

$\begin{displaymath} u(t,x)=v\left(\frac{x}{t}\right)\end{displaymath}$

(29)

となる。この式を方程式 (17) に代入してみると

$\begin{eqnarray*} 0& = & u_t+uu_x\\ & = & \frac{\partial }{\partial t}v\left(... ...ght) \left\{-\frac{x}{t}+v\left(\frac{x}{t}\right) \right\} \\ \end{eqnarray*}$

だから、

とおくと

$\begin{displaymath} v'(y)\{v(y)-y\}=0 \end{displaymath}$

となり、

とすると

が定数になり、よって

が定数になってしまって求めるものにならないので、結局

$\begin{displaymath} v(y)=y \end{displaymath}$

ことがわかる。よって (29) により

$\begin{displaymath} u(t,x)=\frac{x}{t} \end{displaymath}$

が得られる。この解を特性曲線の空白域に埋めて

$\begin{displaymath} u(t,x)=\left\{\begin{array}{ll} u_{-} & (x<u_{-}t), \\ \... ...eq x < u_{+}t), \\ u_{+} & (x\geq u_{+}t) \end{array}\right.\end{displaymath}$

(30)

とするとこれは確かに

のところでは連続な解となる。

**図 23:** 膨張波解
$\includegraphics[width=\textwidth]{image/rare.eps}$

この解は、特性曲線が広がっていって、解のグラフがなだらかになっている。そのため、この解は 膨張波 (rarefaction wave) と呼ばれている。

リーマン問題の解は、以上みたように衝撃波と膨張波によって求めることができる。

Next: 8 差分近似解 Up: 7 リーマン問題 Previous: 7.1 のとき

Shigeharu TAKENO
2001年 9月 21日