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3 弱解の存在定理

良く知られているように、保存則方程式は初期値が滑らかでも、有限時刻内に解に不連続性が現われる現象が起こり得る。これは気体力学での衝撃波に対応していて、よってそれを含むような解を考える必要があり、そのために通常は弱解を考えることになる。

現在までに知られている、弱解の存在の証明方法には

単独保存則に対する全変動の直接評価
Glimm の差分法
波面追跡法 (front-tracking method)
補完測度法 (compensated compactness)

のような方法が知られている。これらによる先駆的な結果を表にまとめると以下のようになる。

系 () 近似解収束性初期値

Oleinik [10] (1957) 1 L-F 差分 (*1) Helly (*3) large data

粘性近似 (*2)

Glimm [11](1965) Glimm 差分 Helly small data (*4)

西田 [12] (1968) 2 (*5) Glimm 差分 Helly large data

Tartar [13] (1979) 1 粘性近似補完測度法 large data

DiPerna [14],[15] (1983) 2 (*6) L-F 差分補完測度法 large data

粘性近似

DiPerna [16] (1976) 2 (*7) 波面追跡法 Helly small data

Bressan [17] (1992) 波面追跡法 Helly small data

(*1).

Lax-Friedrichs 差分近似解:

$(\Delta t,\Delta x\rightarrow 0)$

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \displaystyle \hspace{1zw}D_t U = \frac{U... ...F(U(x+\Delta x,t))-F(U(x-\Delta x,t))}{2\Delta x} \end{array} \end{displaymath}$

(*2).

粘性近似: $U_t + F(U)_x = \varepsilon U_{xx}$ $(\varepsilon \rightarrow 0)$

(*3).

Helly: Helly の選出定理

「上一様有界で一様有界変動である関数列からは、ある有界変動関数に各点収束する部分列を取ることができる」

(*4).

small data: 一般には初期値の全変動が十分小さい、すなわち初期値が定数に十分近い、という条件が必要

(*5).

2: 等温気体 (Lagrange 座標系) の方程式

$\begin{displaymath} v_t - u_x = 0, u_t + (a/v)_x = 0 \hspace{1zw}(\mbox{$u$: 速度、$v$ = 1/密度, $a>0$: 定数}) \end{displaymath}$

(*6).

2: 弾性体の方程式 ([14])

$\begin{displaymath} v_t - u_x = 0, u_t - \sigma(v)_x = 0 \hspace{1zw}(\sigma'(v)>0, v\sigma''(v)\geq 0) \end{displaymath}$

及び、等エントロピー気体 (Euler 座標系) の方程式 ([15])

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \rho_t + (\rho u)_x = 0, (\rho u)_t + ... ...�}\\ \mbox{ $N=1,2,3,\ldots$, $a>0$: 定数}) \end{array} \end{displaymath}$

(*7).

2: 一般の真性非線形な 2 $\times$ 2 の双曲型保存則系

これらの結果は改良されている部分もあるし、また近似解として動力学的近似を用いる Lions,Perthame,Tadmor,Sourganidis らの方法もあるが、詳細は省略する ([19,20] 参照)。

いくつかの方法の中で補完測度法の一番の特徴は、大きい初期値に対して解の存在を示せることであろう。最近 Bressan らによる小さい初期値に対する適切性 (存在、一意性、連続依存性) の研究が強力に進められているが、大きい初期値に対する結果は補完測度法によるもの以外は、今のところ特別な方程式 (*5) に対するものしかない。

なお、Helly の定理を用いる場合と、補完測度法を用いる場合に使われる近似解の評価は異なっていて、それらは以下の通りである。

Helly の選出定理の場合:

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{l} T.V._x U^\varepsilon (\cdot,t)\leq... ...\vert (\mbox{または }o(\vert t-s\vert)) \end{array}\right. \end{displaymath}$
補完測度法:

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{l} \Vert U^\varepsilon (\cdot,\cdot)\... ...repsilon _x(\cdot,\cdot)\Vert _{L^2}\leq C \end{array}\right. \end{displaymath}$

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Shigeharu TAKENO
2001年 12月 17日

	系 ()	近似解	収束性	初期値
Oleinik [10] (1957)	1	L-F 差分 (*1)	Helly (*3)	large data
		粘性近似 (*2)
Glimm [11](1965)		Glimm 差分	Helly	small data (*4)
西田 [12] (1968)	2 (*5)	Glimm 差分	Helly	large data
Tartar [13] (1979)	1	粘性近似	補完測度法	large data
DiPerna [14],[15] (1983)	2 (*6)	L-F 差分	補完測度法	large data
		粘性近似
DiPerna [16] (1976)	2 (*7)	波面追跡法	Helly	small data
Bressan [17] (1992)		波面追跡法	Helly	small data