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2 1 次元保存則方程式

1 次元双曲型保存則方程式とは

\begin{displaymath}
U_t+F(U)_x=0\hspace{1zw}(x\in{\mbox{\sl R}}, t>0)\end{displaymath} (1)

の形の連立偏微分方程式を指す。ただし、$U$,$F(U)$ は次のような $N$ 次元列ベクトル

\begin{displaymath}
U=U(x,t)={}^t(u_1,u_2,\ldots,u_N),
\hspace{1zw}
F(U)={}^t(f_1(U),f_2(U),\ldots,f_N(U))
\end{displaymath}

であり、

\begin{displaymath}
F'(U)=\left[
\begin{array}{cccc}
\partial_1f_1(U) & \parti...
...ce{1zw}\left(\partial_j = \frac{\partial}{\partial u_j}\right)
\end{displaymath}

は、$N$ 個の相異なる実固有値

\begin{displaymath}
\lambda_1(U)<\lambda_2(U)<\cdots<\lambda_N(U)
\end{displaymath}

を持つとする。各固有値 $\lambda_j(U)$ に対する右固有ベクトルを $R_j(U)$ と書くとき、$F(U)$ の定義されている領域 $D$ 内で常に

\begin{displaymath}
\nabla\lambda_j(U)\cdot R_j(U)\neq 0
\hspace{1zw}(\nabla = (\partial_1,\partial_2,\ldots,\partial_N))
\end{displaymath}

であるとき、$j$-特性方向は $D$ 内で真性非線形 (genuinely nonlinear) であるといい、$D$ 内で

\begin{displaymath}
\nabla\lambda_j(U)\cdot R_j(U)\equiv 0
\end{displaymath}

であるとき、$j$-特性方向は $D$ 内で線形退化 (linearly degenerate) であるという。

保存則系からは話が外れるが、この真性非線形、線形退化の条件は、$F'(U)$ が 対角行列

\begin{displaymath}
F'(U)=\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_1(U) & 0 & \cdots...
...& \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \lambda_N(U)
\end{array}\right]
\end{displaymath}

の形、つまり方程式が

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
(u_1)_t + \lambda_1(U)(u_1)_x = 0...
...dots\\
(u_N)_t + \lambda_N(U)(u_N)_x = 0
\end{array}\right.
\end{displaymath}

の形である場合には、$R_j(U)=e_j$ ($=j$ 番目の基本ベクトル) となるので、

\begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
\mbox{真性非線形} & \Longleftrightarrow ...
...e{1zw}\mbox{($\lambda_j(U)$ が $u_j$ によらない)}
\end{array}\end{displaymath}

であり、$j$-特性方向の非線形性に関する条件であることが見て取れる。

一般の場合特性曲線に関していえば、真性非線形は、特性速度 $\lambda_j(U)$$j$-特性曲線にそって単調であることを意味し、線形退化は、 特性速度 $\lambda_j(U)$$j$-特性曲線にそって定数であることを意味する。


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Shigeharu TAKENO
2001年 12月 17日