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2 1 次元保存則方程式

1 次元双曲型保存則方程式とは

$\begin{displaymath} U_t+F(U)_x=0\hspace{1zw}(x\in{\mbox{\sl R}}, t>0)\end{displaymath}$

(1)

の形の連立偏微分方程式を指す。ただし、

は次のような

次元列ベクトル

$\begin{displaymath} U=U(x,t)={}^t(u_1,u_2,\ldots,u_N), \hspace{1zw} F(U)={}^t(f_1(U),f_2(U),\ldots,f_N(U)) \end{displaymath}$

であり、

$\begin{displaymath} F'(U)=\left[ \begin{array}{cccc} \partial_1f_1(U) & \parti... ...ce{1zw}\left(\partial_j = \frac{\partial}{\partial u_j}\right) \end{displaymath}$

は、

個の相異なる実固有値

$\begin{displaymath} \lambda_1(U)<\lambda_2(U)<\cdots<\lambda_N(U) \end{displaymath}$

を持つとする。各固有値 $\lambda_j(U)$ に対する右固有ベクトルを

と書くとき、

の定義されている領域

内で常に

$\begin{displaymath} \nabla\lambda_j(U)\cdot R_j(U)\neq 0 \hspace{1zw}(\nabla = (\partial_1,\partial_2,\ldots,\partial_N)) \end{displaymath}$

であるとき、

-特性方向は

内で真性非線形 (genuinely nonlinear) であるといい、

内で

$\begin{displaymath} \nabla\lambda_j(U)\cdot R_j(U)\equiv 0 \end{displaymath}$

であるとき、

-特性方向は

内で線形退化 (linearly degenerate) であるという。

保存則系からは話が外れるが、この真性非線形、線形退化の条件は、が対角行列

$\begin{displaymath} F'(U)=\left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1(U) & 0 & \cdots... ...& \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_N(U) \end{array}\right] \end{displaymath}$

の形、つまり方程式が

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} (u_1)_t + \lambda_1(U)(u_1)_x = 0... ...dots\\ (u_N)_t + \lambda_N(U)(u_N)_x = 0 \end{array}\right. \end{displaymath}$

の形である場合には、

(

番目の基本ベクトル) となるので、

$\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \mbox{真性非線形} & \Longleftrightarrow ... ...e{1zw}\mbox{($\lambda_j(U)$ が $u_j$ によらない)} \end{array}\end{displaymath}$

であり、

-特性方向の非線形性に関する条件であることが見て取れる。

一般の場合特性曲線に関していえば、真性非線形は、特性速度 $\lambda_j(U)$ が -特性曲線にそって単調であることを意味し、線形退化は、特性速度 $\lambda_j(U)$ が -特性曲線にそって定数であることを意味する。

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Shigeharu TAKENO
2001年 12月 17日